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Pour l'équation linéaire aux dérivées partielles (20) 



il existe deux systèmes de caractéristiques distinctes: y est une variable caractéri- 

 stique simple et x une variable caractéristique d'ordre q. Si l'équation admet une 

 intégrale explicite dépendant d'une fonction arbitraire dont l'argument est une 

 fonction déterminée de x et de y, la fonction arbitraire doit être ou une fonction 

 de X ou une fonction de ?/, et comme l'équation est linéaire, l'intégrale doit être 

 de la forme d' Euler. La méthode de Laplace étendue à l'équation (20) doit être 

 une méthode pour reconnaître si l'équation admet une intégrale de la forme d'Euler, 

 et dans ce cas une méthode qui permet de déterminer cette intégrale ou ces inté- 

 grales. 



Pour abréger, je nomm« une intégrale de la forme d'Euler dépendant d'une 

 fonction arbitraire de x, c'est-à-dire une intégrale du type (4): une X-intégrale; de 

 même, je nomme une intégrale du type (5): une F-intégrale. Si l'intégrale (4) ne 

 peut se réduire par rapport à 7n (c'est-à-dire si l'intégrale ne peut se mettre sous 

 une telle forme qu'elle contienne une fonction arbitraire de x et ses dérivées jus- 

 qu'à l'ordre m — 1 seulement), on dit que l'intégrale est de rang m -j- 1. Darboux 

 est le premier qui ait employé cette dénomination. Si l'intégrale (4), où :|: 0, 

 est de rang m -\- l — p, il faut qu'elle puisse s'écrire 



[-0 + ^^^r +....+ 5. [x.Xir» + ^^X(P - 1) + . . . . + , 



où âp, ä^, . . .äm_p sont des fonctions déterminées de x et de y, et x^^, x^, . . . Xp 

 des fonctions déterminées de x. Il en suit que la condition nécessaire et suffisante 

 pour que l'intégrale (4), où 4^ 0, soit de rang m -\- l est que l'intégrale (4) ne 

 s'annule pour d'autre valeur de la fonction arbitraire X que pour X = 0. 



Supposons que X- intégrales de rang -\- 1, -\- 1, . . . ms -\- 1 soient don- 

 nées. Les s X-intégrales peuvent s'écrire 



