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Louise Petrén 



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où «üt, «Ii, ■ • ■ «mj i sont des fonctions déterminées de x et de //, aoi4=0, tandis qu'au- 

 cune des intégrales ne s'annule pour d'autre valeur de la fonction arbitraire 

 Xi que pour Xi — 0. Si les s X-intégrales (29) ne peuvent être remplacées par 

 s — 1 X-intégrales, je dis que les s X-intégrales (29) sont distinctes. Maintenant 

 nous allons chercher la condition nécessaire et suffisante pour que les s X-intégra- 

 les (29) ne puissent être remplacées par des Xintégrales de rang inférieur. 



S'il existe entre aoi [i =1,2,... s) une relation linéaire et homogène dont les 

 coefficients sont des fonctions de ou, autrement dit, une relation de la forme 



ifAx)o.,u=^Q, où fj{x)^Q, {:j<s) 

 1=1 



et que nous fassions la substitution 



Xi = Xi +Mx}X:h'- {i = 1, 2, . . - 1), 



Xj=fj{x)Xj, 



j 



le coefficient de x/"^^ dans l'intégrale É Ci s'annulera ; par suite les j X-intégrales 



1 = 1 



C,- [i=\^2, . . .j — 1, j) peuvent être remplacées par j X-intégrales de rang 1, 

 . . . nij—x -\- 1, mj au plus. 



i 



Si l'intégrale SCi s'annule pour 



1 = 1 



Xi =fi[x) {i=\,2,... i), où fix) ^ 0, (j < s) 

 et que nous effectuions la substitution 



Xi-^Xi-f /i(^)X,- (^•=l,2,...;- 1), 



X,-=/-(^)X,-, 

 — , 



le coefficient de X,- dans l'intégrale iCi s'annulera ; par suite les j X-iutégrales 



= 1 



(^=1,2, . . .j — peuvent être remplacées par X-intégrales de rang m^-\- \^ 



+ 1, . . . m/_i -j- 1, mj au plus. 



Une condition nécessaire pour que les s X-intégrales (29) ne puissent être 

 remplacées par des X-intégrales de rang inférieur est par suite qu'il n'existe pas 

 de relation de la forme 



s 



S/L(aî)aoi = 0 

 i = i 



et que l'intégrale ÏC,- ne s'annule pour d'autre système de valeurs des fonctions 



arbitraires X,- que pour X,- = 0 = 1, 2, . . . s). Nous verrons que c'est là aussi 

 une condition suffisante. 



s 



Supposons qu'il n'existe pas de relation de la forme S/,(aj)aoi = 0 et que 



1 = 1 



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