Extension de la méthode de Laplace 21 



l'iutégrale ÏC,- ue s'annule que pour X, — 0 = 1, 2, . . . s). Si l'on fait une sub- 

 1 = 1 



stitution de la forme 



(31') x,- = x,--fV y; (,= ,,2,....), 



les s X intégrales (29) seront remplacées par s X-intégrales 



äo,-X/™'' + o-uXi""-^- + . . . . + ä,„,- Xi = 1 , 2, . . . s) , 



où aq/ = a,,/ + S//jm^._ m,. (a3)otoi 4= 0 (^ = 1, 2, ... s). 



i = 1 



Et en général, si les s fonctions arbitraires X, (i = 1,2, ... s) sont remplacées par 

 des fonctions linéaires et homogènes de s fonctions arbitraires X,- (i = 1,2, . . . s) et 

 de leurs dérivées, les coefficients étant des fonctions déterminées de x, les .9 X-inte- 

 grales (29) seront remplacées par s X-intégrales 



OÙ öTq,- 4= 0 et où ni ^ nii (il faut, bien entendu, que la substitution en question ne 

 donne pas de relation entre les fonctions Xi {i = 1, 2, . . . s)). Nous en concluons 

 que les s X-intégrales (29) ne peuvent être remplacées par des intégrales de rang- 

 inférieur. En effet, si les s X-intégrales (29) pouvaient être remplacées par des 



intégrales de rang inférieur, on pourrait écrire l'intégrale X C sous la forme 



i = l 



ki= ili, 



i = l î = 1 



C,- = «orX/"'-^ 4- ^liX^'""~'^ + • • . + X,-, 



SS 



où < et où X, (i =1, 2, ... s) sont des fonctions linéaires et homo- 



1=1 i=l 



gènes de X^, X^, ... X« et de leurs dérivées, les coefficients étant des fonctions déter- 



minées de x: l'intégrale XCi s'annule pour X, = 0 (* = 1, 2, . . . s), et comme nous 



( = 1 



sommes partis de ce que l'intégrale 'L'd ne s'annule que pour X", = 0 = 1, 2, . . . s), 



1 = 1 



il en suit que toutes les fonctions X,- (?- = 1, 2, . . . s) sont des fonctions linéaires et 

 homogènes de X^, X^, . . . Xs et de leurs dérivées, les coefficients étant des fonctions 



s .s 



déterminées de x, mais cela est contraire à la supposition < S^ïi- 



i' = 1 1 = 1 



Lorsque les s X-intégrales (29) peuvent être remplacées par s — 1 X-inté- 



s 



grales, il est aisé de voir qu'une relation de la forme S/(,cc)czoi = 0 existe ; de même, 



! = 1 



lorsque les s X-intégrales (29) peuvent être remplacées par s — r X-intégrales, il 



■s 



faut qu'il existe r relations distinctes de la forme S fi{x)aoi = 0. 



