22 Louise Petrén 



Proposition 1. La condition nécessaire et suffisante pour que les s X-intégrales 



C,-= ao,-Z^^+ ai;Xh"'^+ ... + X- (^ = 1, 2, ... 5) 

 ne puissent être remplacées par des intégrales de rang inférieur à + 1, -f 1, ... 



.s 



nis -\- 1 est qu'il n'existe pas de relation de la forme i^/,(a;)ao,= 0 et que l'intégrale 



1 = 1 



s 



SCî ne s'annule pour d'autre système de valeurs des fonctions arbitraires Xi que 



I = 1 



pour Xi=0 {i=\, 2, . . .s). Une condition nécessaire pour que les s X-intégrales 

 puissent être remplacées par s — r X-intégrales est qu'il existe r relations distinctes 



s 



de la forme Syi{ct;)ao! = 0. 



La méthode de Laplace, appliquée à l'équation (10), consiste à ramener 

 l'intégration de l'équation proposée à l'intégration d'une équation de même type 

 qui admet une intégrale de la forme d'Euler de rang 1 ; et pour que la méthode 

 réussisse, il faut et il suffit que l'équation admette une intégrale de la forme d'Euler. 



Maintenant que nous allons appliquer cette méthode à l'équation (20), il est 

 naturel de chercher d'abord les conditions qui doivent être remplies pour que l'équa- 

 tion (20) admette une ou plusieurs intégrales de la forme d'Euler de rang 1 et, 

 s'il y en a, d'examiner à quel point l'intégration de l'équation peut être simplifiée. 



La condition pour que l'équation (20) admette une X-intégrale de rang 1, s'obtient 

 en substituant s = a^X dans l'équation (20). Nous aurons alors 



(32) X' V + X "ZiAi- + Bi — " 



La condition pour que l'équation (20) admette l'intégrale a^X est que satisfasse 

 aux deux équations 



parce que l'équation (32) doit être vérifiée quelle que soit la fonction X. En diffé- 

 rentiant l'équation (33) par rapport à a; et en tenant compte de l'équation (34), 

 nous obtiendrons l'équation 



II en résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) ad 

 mette une X-intégrale de rang 1 est que les deux équations différentielles (33) et 



(35) " V 'p, = 0, où P, = p + AiB, — Bu 



admettent une intégrale commune (la solution triviale = 0, bien entendu, non 

 comptée), résultat déjà obtenu par Pisati. 



De la même manière, nous pouvons montrer que la condition nécessaire et 

 suffisante pour que l'équation (20) admette s Xintégrales distinctes de rang 1 est 



