Extension de la méthode de Laplace 



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que les deux équations différentielles (33) et (35) admettent s solutions distinctes en 



/ . . . , . 



commun je dis que les intégrales (i = 1, 2, . . . s) de l'équation V; yl^ — j=0 



^ i = o ^'-^ 



sont distinctes, s'il n'existe entre [i=l, 2, . . . s) aucune relation de la forme 



i /,(x)a» = oV 

 1=1 y 



Comme on le sait, nous pouvons reconnaître si les deux équations (33) et (35) 

 admettent des intégrales communes — et dans ce cas combien — par des differen- 

 tiations et des opérations algébriques. En différentiant l'équation (33) j — 2 fois 

 par rapport k y et l'équation (35) j — 1 fois par rapport à y et en éliminant entre 

 ces 2j — 1 équations 



l> + q 



Clih 



i = 0 

 h + q-1 



= 0, (/i = 0, 1 , . . . ji' — 2), où a-ih = ^ ^THi— 



i^kl {h—Jc)\ d"' 



hl 



( = 0 



k\ [li—h)\ dy 



h — k 



les 2 j — 2 quantités 



+ 7-2' ' ■ • 



, nous obtiendrons l'équation 



(36) 



S P,; ^ = 0, où 



0 /^Q +./ - 3, j - 2 Pq +:i - 4, J - 2 



0 0 i)^4.j_4,i-3 



0 



+i - 2, .;■ - 



0 



0 



0 



0 



-2 Clq+j — S, j — 2 +,/ — 4, J — 2 



^<ï +./ — 3> j — 3 — 4, ,/ — 3 



0 



0 



Pq-:i + l,:i-l Pi,:)-l 

 Pq-.i + h.i-2 Pi,.i-2 

 Pq-j + 1. j-S Pi,j-S 



• pq -j -t-1. 0 Pi, 0 



■ ^q -i + i. .;-2 ^-i,i-2 



■ • — i + 1- j — 3 — 3 



^q — i + 0 



Cli, 0 



i = 0, 1,...^7— 



[d'après cette désignation nous avons Pii = Pi {i = 0, 1, . . . q — l)]. Entre les 



coefficients Pi 



î = 0, 1; ... g —j 

 :i=l,2,...q . 



il existe encore les relations suivantes 



Pi, i + 1 [Pr 4- 1, i - 1)'^ = 



Pr, j Pr — 1, j ~\~ P r, j Pi — 1, j ~\~ P i, j 



■ ^ Pr, j Pi, j 



Pr + l,j-l Pr,j-1 Pi,j-1 



