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Louise Petrén 



Pi, j+2 (Pr+i, j-l)* = 



Pr, j Pr- 1, J -\- 2 Pr, j Pr-2, J "t" 2 Pr-l, J "I" Pr, j Pi-—3,j + 2 Pr-S, j -\- Pr-l, J Pi-2,j 2 P,-_i^ /-}- P,-_ , 



0 J"--. j Pr -1, / + P:, / Pr-2, i + P'-l, / Pi-X, , + P;. / 



0 0 P,,,- P,_i,,- P,.y 



Pr+1, j-1 Pr, ,y-l + P)-+l, ./-^l Pr-l, j-1 + Pr,j-1 Pr-2, Pr-l, j-1 Pi— 1, ./-I + Pt, ;/— 1 



^ Pr+1, .7-1 Pr, j—1 Pr-l, j—1 Pi, j-l 



dP d^P 



etc., où r = q — ^' et où la designation — - — p\ — - = P" est employée. La con- 



dition nécessaire et suffisante pour que les deux équations (33) et (35) admettent 

 s solutions distinctes communes est que l'on ait 



i = 0 



ou autrement dit, que l'on ait 



P,=o{' = '^'-^-\. ]; 



et cette condition est identique à la condition 



Pi,,-i=0 (^ = 0, 1, ...5—1). 



Supposons p = 0 (/ = 0, 1, ... s — 1), P,, ,;__,,:j= 0. Il en suit que les deux 

 équations (33) et (35) admettent s — et pas plus de s — intégrales distinctes communes, 

 lesquelles sont obtenues par l'intégration de l'équation différentielle (36) où .y = q — s; 

 l'équation (20) admet par suite s — et pas plus de 5 — X intégrales distinctes de rang 

 1, lesquelles sont obtenues par l'intégration de l'équation (36) où j = q — s, 

 et l'équation (20) peut par suite se mettre sous la forme 



Mi et Ni étant des fonctions de x et de y, qu'il n'y a pas trop d'intérêt à définir. 



Proposition 2. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) 

 admette s X-intégrales distinctes de rang 1 est que les deux équations différentielles 



ï Ai 1^ = 0, p. 1^ 0, où P = ^ + AiB, - Bi, 



admettent s intégrales distinctes communes, et cette condition est identique aux 

 conditions 



P-, ,_.,.= 0 (-^ = 0, . ..9 - 1) 

 (pour la désignation Py voir page 23). Supposons 



P,-, ,_,- = 0 (ï = 0, 1, ,..s-l), Ps, ,-,,+ 0. 

 Les s X-intégrales de rang 1 peuvent être obtenues par l'intégration de l'équation 



y p. ^ - 0 • 



