Extension de la méthode de Laplace 25 



l'équation (20) peut s'écrire 



et l'intégration de l'équation (20) se ramène à l'intégration des deux équations 



,-=o\ ^^^y ^yJ i,=o ^y 



Le cas où s = q est d'un intérêt spécial. La condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que l'équation (i'O) admette q X-intégrales distinctes de rang 1 est 

 que l'on ait 



P + AiB, -Bi = 0 a = 0, 1, ... g _ 1). 



dx 



Si ces conditions sont vérifiées, l'équation (20) peut s'écrire 



W 7,r« 01/' 



et l'on obtient par suite l'intégrale générale par l'intégration successive de deux 

 équations différentielles, dont la première est du premier ordre et la seconde d'ordre q. 



Pour reconnaître si l'équation (20) admet une F-intégrale de rang 1, nous 

 substituons ^ = ß F dans l'équation (20). Lorsque l'équation (^0) admet l'intégrale 

 ßF, l'équation 



S U,-- — : + (ßr) = o 



doit être vérifiée quelle que soit la fonction Y. Il en suit que ß est déterminée 

 par l'équation -\- ^ = 0, et que l'équation (20) peut s'écrire 



,• = 0 dt/\dx^ ' ) 

 L'équation adjointe de cette dernière équation peut s'écrire 



l—-~B}i{—iy+^—.{Aiu) = o, 



et cette équation admet q X-intégrales distinctes de rang 1. Il en suit que la 

 condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) admette une F-intégrale 

 de rang 1 est que l'équation adjointe (23) admette q X-intégrales distinctes de rang L 

 L'équation adjointe (23) peut s'écrire 



(38) 2j Ci r + Di — : =■ 0, ou 



Supposons que l'équation adjointe (23) admette s — et pas plus de 5 — 

 X-intégrales distinctes de rang 1 ou, autrement dit, supposons que les deux équa- 

 tions différentielles 



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