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Louise Petién 



(38") ia^^=0, (38'") 



<?-l giv 



1 Qi—- 



0, où = 



C,I», - - Di. 



admettent s intégrales distinctes communes. L'équation (23) peut alors s'écrire 



, 8' + ^ 



i = 0 



1 



8 "m 



= 0, 



où les coefficients Qij sont formés des coefficients Cg, C^, . . . Cg, Çq, Ç-^^, . ■ . Qq-i de 

 la même manière que les coefficients Py (page 23) ont été formés des coefficients A^^, 

 A Aq, Pq, Pj, . . . Pq-i; les coefficients P, et Si sont des fonctions åe x et de p; 



Pq_s= 1. L'équation (20) peut par suite se mettre sous la forme 



(39) 



/i = 0 



Qh, q 



Qs. 



1 V 



* 1 = 0 



dxdy' df 



= 0 



Si nous avons obtenu s intégrales distinctes {i = 1,2, ... s) de l'équation 



.^^4),, 8«/' 



nous pouvons en déduire, sans intégration, s intégrales distinctes X,- (?'=1, 2, ...s) 

 de l'équation adjointe 



iQi,q. 



et l'équation (20) peut se mettre sous la forme 



X =0, 



(39') 



,- = oV 8.x8/^ '8W ' 



Il en suit que, si les s X-intégrales de rang 1 de l'équation (23) sont données, 

 l'équation (20) peut être ramenée sans intégration à la forme (39'), ou autrement 

 dit: une intégrale intermédiaire (39') d'ordre n — s de l'équation (20), dépendant 

 de s fonctions arbitraires, peut être directement obtenue. 



Proposition 3. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) 

 admette une F-intégrale de rang 1 est que l'équation adjointe admette q X-inté- 

 grales distinctes de rang L Si l'équation (20) admet une Y-intégrale de rang 1, 

 l'équation peut s'écrire 



ito dif\dx^ " 



0, 



et l'intégrale générale s'obtient directement par l'intégration successive de deux 

 équations différentielles, la première d'ordre q et la seconde du premier ordre. Si 

 l'équation adjointe (23) admet s — et pas plus de s — X-intégrales distinctes de 

 rang 1, l'équation (20) peut, sans intégration, être ramenée à la forme 



Qh, q- 



Q^, 



dxdy' 



= 0, où P,, _ = 1 , 



