Extension de la méthode de Laplace 



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et, par riutégratioii de l'équation différentielle 



8^' [Çi,,,,- 



à la forme 



2 



/ = 0 



8' + % , „ 0'^ 



Ri - — -■ + = S hXi . 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'une des équations (20) et (23) 

 admette une intégrale de la forme d'Euler de rang 1 est ainsi que les équations 

 admettent une intégrale intermédiaire d'ordre inférieur h n. — Lorsque l'une des 

 équations (20) et (23) admet q X-intégrales distinctes de rang 1 et que, par suite, 

 l'autre équation admette une F-iutégrale de rang 1, l'intégrale générale de l'équation 

 (20) s'obtient directement par l'intégration successive de deux équations différen- 

 tielles linéaires. Aussi dans d'autres cas, l'on peut obtenir l'intégrale générale de 

 l'équation (20) directement par l'intégration successive d'équations différentielles 

 linéaires, c'est-à-dire si l'équation (20) peut se mettre sous la forme 



Vf--" 



G h 



Ji = 0 



dx 



dtf 



0, 



où les coefficients G;,, et Fi sont des fonctions de x et dep; Fg = Gq — s = 1. Une con 

 dition nécessaire en est que l'équation (20) admette au moins s X-intégrales distinctes de 

 rang 1 et que l'équation adjointe (23) admette au moins q — s X-intégrales distinctes de 

 rang 1. Supposons que l'équation (20) admette les s X-intégrales distinctes 

 aofX, [i — 1, 2, ... s), où q ^s>_0. Nous écrivons 



'•01 



^0-2 



«01 



t 



«02 



^(-î - 1) 



„(<? - 1) 

 «02 



«Og 



To,- = 



alogg 



84r^' 



(^•=l,2, ...g), 



«0(/ «Og 



OÙ «0,- (^ =1, 2, ... g) sont q intégrales distinctes de l'équation (33) et où l'on a 

 employé la, désignation = «of . Une condition suffisante pour que l'équation 



(20) puisse se mettre sous la forme en question est que l'équation adjointe (23) 

 admette les intégrales yoiX (î = s -f 1, s -f- 2, ... g). Et si l'équation (20) n'admet 

 pas d'autres X-intégrales de rang 1 que les intégrales «OiXi [i=\; 2, . . . s), il faut, 

 pour que l'intégrale générale de l'équation (20) s'obtienne directement par l'intégra- 

 tion successive d'équations différentielles linéaires, que l'équation adjointe (23) admette 

 les intégrales YoiX, (i = s -f 1 , s -f 2, . . . g). 



Supposons maintenant que l'équation (20) n'admette pas d'intégrale inter- 

 médiaire d'ordre inférieur à w, ou, autrement dit, (lue ni l'équation (20) ni l'équa- 

 tion (23) n'admettent une intégrale de la forme d'Euler de rang 1. Nous ne pouvons 

 immédiatement diminuer l'ordre de l'équation (20). Nous allons rechercher s'il est 

 possible de trouver des transformations linéaires — analogues aux transformations 



