Extension de la méthode de Laplace 



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— — dz 



uous donnent ^„=0, -5,,+ O- En appliquant ensuite la transformation — , 



dy 



l'équation (20) peut se mettre sous la forme 



(42) Y. [Ai + + = 0. 



L'élimination de 2; entre les deux équations (40) et (42) conduit à l'équation 



(43) 



laquelle est du même type et du même ordre que l'équation (20). 



Il résulte des équations (40) et (42) que l'intégration de l'une des équations 

 (20) et (43) entraîne celle de l'autre. 



Supposons que l'équation (20) admette la X-intégrale 



et supposons que cette intégrale soit de rang m -\- l, c'est-à-dire que l'intégrale ne 

 s'annule pour d'autre valeur de la fonction X que pour X = 0. Il résulte directe- 

 ment de l'équation (40) que l'équation (43) admet une Xintégrale qui est de rang 

 m au plus, c'est-à-dire l'intégrale 



Si nous substituons l'intégrale C dans l'équation (20), nous obtiendrons (du coeffi- 

 cient de Z^"^) 



il en suit que Ai — 1-±0 et, comme V Ai — ^ = 0, nous aurons a,, — it 0. Le 



coefficient de x'''"'"^'' dans l'intégrale n'est donc pas nul. Nous allons voir que 

 l'intégrale est, en effet, de rang m.. Si nous supposons que l'intégrale Ç^^ soit 

 de rang inférieur à m, il faudrait qu'il existe une valeur, différente de zéro, de la 

 fonction arbitraire X pour laquelle l'intégrale s'annulerait, et si Tintégrale Cj 

 s'annulait pour X=f{x), où 'f{x)^0, il résulterait de l'équation 



I (1;. + 5,- ^"l^ + 5„ ^ 0, 



laquelle s'obtient de l'équation (42) et qui doit être vérifiée quelle que soit la fonc- 

 tion X, qu'aussi l'intégrale C s'annulerait pour X = /(^c), ce qui est contraire à 

 l'hypothèse. — Je nomme une X-intégrale dans laquelle le coefficient de la plus 

 haute dérivée de X est a: une X-intégrale qui correspond à a. — Le rang de la 

 X-intégrale qui correspond à est ainsi diminué d'une unité par la transforma- 

 tion (40). 



