30 



Louise Petrén 



Supposons que l'équation (20) admette s X-intégrales distinctes de rang 1, 

 + 1, . . . ms -j- 1 qui ne puissent être remplacées par s Xintégrales de rang infé- 

 rieur. Que les s Z-intégrales de l'équation (20) soient les intégrales (29) ; ao,- {i = 1, 2, ... s) 



s 



sont s intégrales distinctes de l'équation (33), et l'intégrale S Ci ne s'annule pour d'autre 



système de valeurs des fonctions Xi que pour X, = 0 (ï = 1, 2, ... s). 



Supposons de plus qu'il existe entre et «oi [i = 1, 2, ... s) une relation de la 



forme 



i ■ . 



% = S/i(.^)aoi, où fj{x) 4 0, (j <_ s). 



i = \ 



En effectuant la substitution (30) nous remplaçons la X-intégrale qui correspond 

 à «o;- par une X-intégrale de même rang qui correspond à «o; les s — 1 Xintégrales 

 qui restent ne changent pas avec cette substitution. Nous pouvons supposer que la 

 substitution en question ait déjà été faite, et ainsi nous avons 



De l'équation (40) il résulte directement que, de chacune des intégrales Ci = 1, 2, . . . s), 

 on obtient une X-intégrale de l'équation (43) qui est de rang m, -|- 1 au plus, à 

 savoir l'intégrale 



Nous avons déjà vu que l'intégrale (C/)j est de rang mj. Les s — 1 X-intégrales 



(Ci), (i + i) qui restent sont de rang rrii -f 1, parce que le coefficient c^, — ( — ) {i^j) n'est 



pas nul et que l'intégrale (Cz)i ne s'annule pour d'autre valeur de la fonction X 

 que pour X,- = 0, ce qui résulte de l'équation (42). 11 résulte de la proposition 1 

 que la condition nécessaire et suffisante pour que les s X-intégrales (C,)i (i = 1, 2, . . . s) 

 ne puissent être remplacées par des Xintégrales de rang inférieur à -\- 1, 

 + 1, . . . + 1, rrij, + i +1; ... m* -f- 1 est qu'il n'existe aucune relation 



de la forme 



^la relation triviale fj[x)-^ j = 0 non comptée^ et que l'intégrale il (C,), ne s'annule 

 que pour Xi = 0 (i = \,2, . . . s). Il suit de l'équation 



(qui est obtenue de la même manière que l'équation (44)) qu'aucune relation de 

 la forine 



