Extension de la méthode de Laplace 31 

 ne peut exister, et par suite aucune relation de la forme 



ne peut exister. Et une relation de la forme 



serait contraire à l'hypothèse. Ainsi aucune relation de la forme (44') ne 



s 



peut exister. Il résulte de l'équation (42) que l'intégrale S(Cs)i s'annule que 



i= i 



s 



pour Xi = 0 (i = 1, 2, ... s), puisque l'intégrale SCj ne s'annule que pour X,- = 0 



i = 1 



[i—l, 2, ...s), Nous avons ainsi obtenu le résultat suivant: les s X-intégrales 

 (Ci)i (^ = 1, 2, ... s) sont de rang + 1, m^-\- 1, ..^mj^i l,m,j, jm^ + i + 1, . . . mg -|- 1, 

 et elles ne peuvent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur. 



Si nous supposons, au contraire, qu'il n'existe pas de relation de la forme 



.s 



i = 1 



nous pouvons de la même manière montrer que les s X-intégrales distinctes 

 (Ç^)^ (i = 1, 2, ... s) de l'équation (43) sont de rang -\- 'i,m^ -\- 1, . . . mj -\- 1, . . .nts -\- 1 

 et ne peuvent être remplacées par s X-intégrales de rang inférieur. 



Il résulte des équations (40) et (42) que, si l'équation (20) n'admet que les s 

 X-intégrales distinctes Ci = 1, 2, . . . s), l'équation (43) n'admet que les s X-intégrales 

 distinctes {Q^ (i = 1, 2, ....<?). , 



Supposons maintenent que l'équation (20) admette une F-intégrale de rang 

 r -)- 1, ou autrement dit: une intégrale de la forme 



c = ßor(''^ + ß^i:('-^' + ... + ß,,r (ß.z^o) 



qui ne s'annule pour d'autre valeur de la fonction arbitraire Y que pour 3^=0. 

 L'équation (43)' admet l'intégrale 



dy «0 



Comme l'intégrale C ne s'annule que pour Z=0, il suit de l'équation (42) que 

 l'intégrale ne peut s'annuler non plus pour d'autre valeur de la fonction arbi- 

 traire que pour F= 0. L'intégrale est par suite de rang r -j- 2. Et inverse- 

 ment, si l'équation (43) admet une Z-intégrale de rang r -|- 2, l'équation (20) admet 

 une Z-intégrale de rang r-f 1. L'équation (43) ne peut admettre une F-intégrale 

 de rang 1. 



Supposons enfin que l'équation (20) admette une F-intégrale de rang r -j- 1 

 et q X-intégrales distinctes de rang m^-\-l, -\- \, . . . mq -\- \ qui ne puissent 



