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Louise Petrén 



être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur. Les q X-intégrales peuvent 

 s'écrire 



v"'! < <...<■ nigl 



où «0/ (^=l,2...ç) sont q intégrales distinctes de l'équation (33) et où l'intégrale 

 <? 



SCî ne s'annule que pour Xi = 0 (i = 1,2, . . . q). Comme est une intégrale de 

 t = i 



l'équation (33), une relation de la forme 



j 



% = 2/i(«)«0i, où fj(x) 0, (,7 < q) ■ 



doit exister. L'équation (43) admet par suite une Z-intégrale de rang r + 2 et g 

 X-intégrales distinctes de rang m, -\- 1, -\- 1, . . . mj -\- 1, mj, + 1, 

 ... m, -f 1, lesquelles ne peuvent être remplacées par des Z-intégrales de rang 



Q 



inférieur. Je nomme, d'après Darboux, la somme r -f '^mi le nombre carac- 



i = 1 



téristique de l'équation (20). Nous avons ainsi obtenu le résultat suivant: Lorsque 

 l'une des deux équations (2o) et (43) admet n intégrales distinctes de la forme 

 d'Euler, le cas est le même pour l'autre équation, et le nombre caractéristique est 

 le même pour les deux équations. 



Proposition 4. Par la transformation 



l'équation (20) est ramenée à l'équation (43), laquelle est du même type et du 

 même ordre que l'équation (20). L'intégration de l'une des équations (20) et (43) 

 entraîne celle de l'autre; de toute intégrale de l'une des équations l'on obtient sans 

 intégration une intégrale de l'autre équation. Si l'une des équations admet X-inté- 

 grales distinctes, le cas est le même pour l'autre équation. — Supposons que l'équa- 

 tion (20) admette s X-intégrales distinctes de rang -\- 1, -(- 1, . . . nis + 1 qui 

 ne puissent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur; les s X-inté- 

 grales peuvent s'écrire 



f- „ y ^ _L n( Y ~ 1) _i_ _L « T h = 1,2, ... s \ 



— «Oi^i + aj,-A, -j- . . . -f- «m jAi ^ ' 



\Wj <. _ • • ■ ^ / 



s 



s'il n'existe aucune relation de la forme = S/,(aj)aof, l'équation (43) admet s 



X-intégrales distinctes de rang -\- 1, 1, . . . nis -\- 1 qui ne peuvent être 



remplacées par des X-intégrales de rang inférieur, et s'il existe entre et 

 «0, [i = 1,2, ... s) une relation de la forme 



./ 



«0= S/i(^)aoM oùfj{x)^0, U ^s), 



i = l 



l'équation (43) admet s X-intégrales distinctes de rang m?^ -|- 1, m^-\- 1, . . .mj-i -\- 1, 

 Mj, my + i -|- 1 , . . . Ws -(- 1 qui ne peuvent être remplacées par des X-intégrales de. 



