iCxtension de la méthode de Laplace 33 



rang inférieur. — Si l'équation (20) admet une F-intégrale de rang r -\- 1/ l'équa- 

 tion (43) admet une [T-intégrale de rang r + 2, et inversement. L'équation (43) ne 

 peut admettre une F-intégrale de rang 1. — Si l'intégrale générale de l'une des 

 équations (20) et (43) est représentée par n intégrales de la forme d'Euler, le cas 

 est le même pour l'autre équation, et le nombre caractéristique est le même pour 

 les deux équations. 



Maintenant nous allons appliquer la transformation (40) à une équation (20) 

 qui admet l'intégrale a^X. L'équation (20) pouvant s'écrire sous la forme (41) où 

 .4,) = /ijj = 0, la transformation (40) conduit immédiatement à l'équation 



(45) S Ai + Bi-^—-7 R = 0. 



Supposons que l'équation (20), outre l'intégrale a^X, admette .9 X-intégrales 

 distinctes de rang m^-{- l, -\- 1, . . . m,, -\- 1, et supposons que les s + 1 X-inté- 

 grales ne puissent être remplacées par des A'-intégrales de rang inférieur. Soient 

 les s Z-intégrales de l'équation (20) les intégrales (29); il ne peut exister aucune 

 relation de la forme 



iy;-(^)7.o/+,/(.r)7.,=.o, 

 (■-=1 



et l'intégrale ï C,- + o^qX ne s'annule pour d'autre système de valeurs des fonctions 



; = 1 



arbitraires que pour X, = 0 (*= 1, 2, . . . s), X=0. L'équation (45) admet les s 

 X-intégrales 



^ y +°"^W''' «=1.2....«) 



de rang w«j -(- 1, -\- \, . . . ni.. -|- 1 au plus. 11 n'existe pas de relation de la forme 



S 



et l'intégrale ïi (C,)i ne s'annule pour d'autre système de valeurs des fonctions 



arbitraires que pour X, = 0 (i=l, 2, ...s); il en suit que les s intégrales 

 (C,)j (î = 1, 2, ... s) sont de rang -f 1, 1, . . . mg -\- l et qu'elles ne peuvent être 



remplacées par des X-intégrales de rang inférieur. Si l'équation (20) n'admet que 

 les 5 4- 1 X-intégrales C,- (/=!, 2, . . . s) et a^X, l'équation (45) n'admet que les 

 s X-intégrales (C;)i {i=\, 2, ...s). De chaque X- intégrale de l'équation (45) on 

 obtient par une quadrature une Xiutégrale de l'équation (20). 



Supposons que l'équation (20) admette une ^-intégrale de rang 7' -\- 1. Il eu 

 suit que l'équation (45) admet une F-intégrale qui est de rang r -\- 2 au plus et 

 qui peut être de rang inférieur h r -\- 2. Si l'équation (45) admet une F-intégrale, 

 il n'en suit nullement qu'il existe une F-intégrale pour l'équation (20). 



Proposition 5. La transformation = a^-^ ^— j , appliquée à une équation (20) 

 qui admet l'intégrale a^X, conduit immédiatement à l'équation (45). Si nous sup- 



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