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Louise Petrén 



posons que l'équation (20), outre l'intégrale a^Z, admette s Xintégrales de rang 

 m, + 1. in^ -\- 1, . . . -\- 1 et que les s + 1 Xintégrales ne puissent être remplacées 

 par des X-intégrales de rang inférieur, il en suit que l'équation (45) admet s 

 X-iutégrales de rang -)- 1, -\- l, . . . nis -\- l qui ne peuvent être remplacées par 

 des X-intégrales de rang inférieur, et inversement. Si l'équation (20) admet une 

 Y^intégrale de rang r -\- 1, l'équation (45) admet une F-intégrale de rang r -\- 2 

 au plus. Mais si l'équation (45) admet une F-intégrale, il n'en suit nullement 

 qu'il existe une F-intégrale pour l'équation (20). Si l'intégrale générale de l'équation 

 (20) est représentée par une somme d'intégrales de la forme d'Euler, le cas est le 

 même pour l'équation (45); le nombre caractéristique peut être moindre pour l'équa- 

 tion (45). Mais si l'intégrale générale de l'équation (45) est représentée par des 

 intégrales de la forme d'Euler, il n'en suit nullement que le cas est le même pour 

 l'équation (20). 



Des preuves des propositions 4 et 5 il résulte que, si l'équation (20) admet 

 les s X-intégrales (29), la condition nécessaire et suffisante pour que les s Xinté- 

 grales (29) de l'équation (20) ne puissent être remplacées par des Xintégrales de 

 rang inférieur à »?j 1, -|- 1 , . . . -}- 1 est qu'il n'existe pas de relation de la 

 forme 



En appliquant la transformation (40) à l'équation (20), nous avons obtenu 

 des résultats qui sont tout à fait analogues aux résultats obtenus par l'application 

 de la transformation (6) à l'équation (1), et on a le droit de considérer la trans- 

 formation (40), appliquée à l'équation (20), comme une transformation de Laplace. 



Il résulte de la proposition 4 que si l'équation (20) admet une A^-intégrale de 

 rang m -\- \, nous pouvons en appliquant m transformations (/'J, [voir page 28] con- 

 venablement choisies, ramener l'équation (20) à une équation de même type et de même 

 ordre qui admet une X-intégrale de rang 1, et l'ordre de l'équation transformée peut être 

 immédiatement diminué d'une unité. Si l'équation (20) admet s Xintégrales distinc- 

 tes de rang -\- l, m.^ -\- \, . . . m,); -\- \ qui ne peuvent être remplacées par s X-inté- 



grales de rang inférieur, nous pouvons de même en appliquant S (m,- -\- 1) trans- 



1 = 1 



formations (^J, convenablement choisies, ramener l'équation (20) à une équation de 

 même type et d'ordre n — s. Mais il existe une différence essentielle entre la trans- 

 formation de Laplace (6) 



de l'équation . (1) et une transformation [t^) de l'équation (20). La transformation 

 (6) est complètement déterminée, ce qui n'est nullement le cas pour la transforma- 

 tion (i(j), si q > \ \ la fonction a^, dans la transformation 



! = 1 ,=0 



entre les coefficients a,-. 



