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Louise Petrén 



Coin me la transformation ' 



did \ d I d ^ 



se décompose eu j transformations (f^), l'équation (20) est ramenée par la trans 

 formation (tj) à une équation de même type et de même ordre au plus. La con- 

 dition nécessaire et suffisante pour que la transformation (tj) conduise à une équa- 

 tion d'ordre n — s est que l'équation (20) admette s Xintégrales distinctes 



A,:A,\ , ou = 0, U- = 1, 2, ... s). 



dij £y--i di/ £2 dy £, 8«/a„ 



Nous allons maintenant appliquer la transformation 



à l'équation (20), et nous partons de la supposition que l'équation (20) n'admette 

 pas d'intégrale de la forme 



XX où = 0. 



sy-i dy B//Si dy% 



L'équation qui définit est d'ordre n. Comme 0 peut s'exprimer linéairement h 

 l'aide de 0^ et de dérivées de (voir l'équation (42)), et que de même 0^ peut 

 s'exprimer linéairement à l'aide de et de dérivées de etc., ,e peut s'exprimer 

 linéairement à, l'aide de s,- et de dérivées de ej. Il en suit que l'équation (20) et 

 l'équation en zj s'intègrent en même temps; de toute solution de l'une des équa- 

 tions, l'on obtient sans intégration une solution de l'autre équation. 



Supposons que l'équation (20) admette les s X-intégrales (29) et qu'elles ne 

 puissent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur à -|- 1, m^-\-l,... 

 nis -\- 1] «0,- {i = 1, 2, ... s] sont intégrales distinctes de l'équation (33), et l'inté- 



s . - 



grale S C/ ne s'annule que pour Xi = 0 = 1 , 2, . . . s). Supposons ensuite qu'exi- 

 stent les r relations 



//• =1 2, ... r 



j ^//, < /K2< ... < hr 



OÙ 



8 18 1 8 1 8 X,, 



0, 



"ày dy £, 8// Si dy % {h=\, 2, ... r) 



/v(^1 + 0, /;,,(.x) = 0(/=l,2, ...yfc-l), 

 et que ces r relations soient les seules du type considéré. En effectuant la substitution 



Xi,^ -=fhjjc{x)Xn^ (/.■=!, 2, . . . r), 



