Extension de la méthode de Tjaplace 37 



les r A''- intégrales qui correspondent à «o//,,: (/i;=l, 2,...r) seront remplacées par 

 r Xintégrales de même rang qui correspondent à X/,- (/<;= 1, 2, . . . r). Nous pouvons 

 supposer que la substitution en question ait déjà été effectuée. Ainsi nous avons 



X/,-= «0//, (/^ = 1, 2, . . . r). 

 L'équation par laquelle est définie admet les ^ X-intégrales 



{Ci)j = a„s,s^ ... S/ _ i ... U- = 1, 2, . . . .s . 



Les intégrales (C,)/ (i = 1, 2, ... s) sont de rang \ , -f 1, . . . mi^ , . . . m/,^ , . . . 



w/,,. , . . . ms -]- 1 au plus. Comme z peut s'exprimer linéairement à l'aide de zj et de 



dérivées de l'intégrale (Ci)y ne s'annule pour d'autre système de valeurs des 



i = l 



s 



fonctions arbitraires que pour A',- = U (i=l, 2, ..s), puisque l'intégrale ï ne 



i = X 



s'annule que pour X/ = 0 2, ...s). Nous allons voir qu'aucune relation de 



la forme 



q r 

 1=1 ifc=l 



où «0/ (/ = 1, 2, . . .q) sont g intégrales distinctes de l'équation (33), ne peut exister. 

 En effet, si une relation de cette forme existait, nous aurions 



! = U k = X 



et, en tenant compte de l'équation (44), nous aurions 



1 = 0 ^ ^ ' l;=l 



r 



ce qui voudrait dire que S gi;{x)aoh^X serait une intégrale de l'équation (20), et cela 



k = l 



est contraire à l'hypothèse. Il en suit (d'après la proposition 1) que les s X-intégrales 

 (Çi)j (i = 1, 2, ... s) sont de rang + 1, + 1, . . . , nu,,, . . . mj,,,, . . . mj,^., . . . + 1 

 et qu'elles ne peuvent être remplacées par des A'-intégrales de rang inférieur. 



Aussi les autres résultats, obtenus pour la transformation {t^) et qui ont été 

 donnés dans la proposition 4, peuvent facilement être étendus à la transformation {tß. 



Toutes les transformations (^,), [t^), . . . (tq) peuvent être considérées comme des 

 transformations de Laplace correspondant au système de caractéristiques x = const. 

 De ces transformations c'est la transformation (4/) [aussi désignée (TJ] qui étant com- 

 plètement déterminée a le plus grand intérêt pratique. 



Je désigne l'équation (20) par la lettre (E). Par l'application répétée de la 

 transformation {T^], on obtient une série d'équations de même type, que je désigne 

 par (£'j), (E^), [E^ etc. L'équation adjointe (23) est désignée par (£"); la transforma- 

 tion (Tj), appliquée plusieurs fois de suite à l'équation (£"), conduit à une série 



