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Louise Petrén 



d'équations de même type, que je désigne par [Ei], (E'z), [E'a] etc. Ces désignations 

 sont identiques à celles que Darboux a employées pour l'équation (1). 



L'équation [E^ peut être obtenue de la manière suivante En appliquant 

 la transformation (21) 



l'équation (20) peut s'écrire 



(46) 



1.1 1 



i =0 



où P, =^^'-r AiBq — Bi. Supposons que l'équation (20) admette 5, et pas plus 



de s, X-intégrales distinctes de rang 1, où 0 < 6^ < g. En différentiant l'équation 

 (46) q — s fois par rapport h y ei l'équation (21) q — s — 1 fois par rapport a. y Bi 

 en éliminant entre ces 2{q — s) -\- 1 équations 



/'+<?-! 



pih 



i = 0 



— > , Of 



{h = 0, i, ...q — s), 



dy" 



i = 0 



dl/' 



(A=-0, 1, ... q 



1) 



pour la désignation a^/i, pni voir page 23] les 2 {q — s) quantités 

 , . . . — , nous obtiendrons l'équation : 



dy 



(46') 



-P'H-J-2, .7-1 Pq+j-s, j-i Pq+.i -4, 1 Pq-j+i . j-l 



7 y 



0 



0 



0 0 0 



0 «(^^/_3, y_3 aQ+y_4, ,7-3 '^f/-7+l,i-3 



8 j/-^'-^ \ 8^ 



+ Bq]^q 



dyJ-^ 



0 



0 



0 



" dy' ' 



1 = 0 



flq— j+l, 0 ^q 



OÙ j = g — Comme nous avons supposé que l'équation (20) admette s 



X-intégrales distinctes de rang 1. nous avons 



