Extension de la méthode de Laplace 



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Et l'équation (46'), où j = q — s -j- \, est justement l'équation (E^). L'équation (jE,) 

 est de même type que l'équation (20) et d'ordre n — ,ç, résultat déjà obtenu. Sup- 

 posons s > 0. L'équation (20) peut se mettre sous la forme (37), et la transformation 

 (Tj) de l'équation (20) peut être décomposée en deux transformations complètement 

 déterminées, c'est-à-dire 



s q — s 



7 = 0 1=0 



cette dernière transformation est la transformation (TJ de l'équation 



S [Mi- ^^+^^,-^^,= 0. 



z ne peut s'exprimer au moyen de dérivées de Zq ; mais l'expression ^ P,_ 



( = 0 



Wi 



est une fonction linéaire et homogène de Zq et de dérivées de Zq, les coefficients 

 étant des fonctions déterminées de x et de y. 



Nous pouvons maintenant facilement étendre les résultats obtenus pour la . 

 transformation (^j) et qui ont été donnés dans les propositions 4 et 5 à la trans- 

 formation [Tj). 



Proposition 6. En appliquant la transformation complètement déterminée (21) 



_ ^ . d'z 

 ''-ito'W 



à une équation {E) qui n'admet pas de Xintégrale de rang 1, l'on obtient une 

 équation [E^] de même type et de même ordre. L'intégration des deux équations 

 [E) et (jEJ constitue deux problèmes équivalents ; de toute intégrale de l'une des 

 deux équations, l'on obtient sans intégration une solution de l'autre équation. Si 

 l'équation {E) admet s A'-intégrales de rang m-^ l, Wg + 1, . . . . + 1 qui ne 

 peuvent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur, Téquation (E^) ad- 

 met s X-intégrales de rang m^, m^, . . . m., qui ne peuvent être remplacées par des 

 X-intégrales de rang inférieur, et inversement. Si l'équation {E) admet une F-inté- 

 grale de rang r -{- 1, l'équation [E^] admet une Y-intégrale de rang r + 2 + 1, 

 et inversement. L'équation (£'J ne peut admettre une F-intégrale de rang inférieur 

 h q -\- 1. Lorsque l'intégrale générale de l'une des deux équations [E) et [E^) est 

 représentée par n intégrales distinctes de la forme d'Euler, il en est de même de 

 l'autre équation, et le nombre caractéristique est le même pour les deux équations 

 [E) et [E,]. 



Proposition 7. Si l'on applique la transformation complètement déterminée (21) 



_ V A 



à une équation {E) qui admet Sj — et pas plus de s^^ — X-intégrales distinctes 

 de rang 1, l'on obtient une équation [E^) de même type et d'ordre n — s^. Si 



