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Louise Petrén 



l'équation {E) admet, outre les X-intégrales de rang 1, X-intégrales de rang 

 nîj -\- \ , -\- 1, ■ . . m.,^ -f 1 et que les -\- X-intégrales ne puissent être remplacées 

 par des X-intégrales de rang inférieur, l'équation (iJj) admet X-intégrales de 

 rang m^, m^, . . . m,,^ qui ne peuvent être remplacées par des X intégrales de rang 

 inférieur, et inversement. Si l'équation Œ) admet une Y-intégrale de rang r -\- l, 

 l'équation (Ej) admet une F-intégrale de rang r -\- q -\- 1 au plus. Mais si l'équa- 

 tion {E^) admet une F-intégrale, il n'en suit nullement que l'équation (jE") admette 

 une Z-intégrale. Lorsque l'iatégrale générale de l'équation [E) est représentée par 

 des intégrales de la forme d'Euler, il en est de même de l'équation {E^); le nom- 

 bre caractéristique peut être moindre pour l'équation (.EJ. Nous ne pouvons con- 

 clure réciproquement que lorsque l'intégrale générale de l'équation (E^) est représentée 

 par des intégrales de la forme d Euler, il en soit de même de l'équation [E). 



Eu appliquant à l'équation (E) la transformation (TJ plusieurs fois de suite, 

 nous pouvons reconnaître si l'équation {E) admet une X-intégrale, L'application 

 répétée de la transformation -{T^) h l'équation {E) donne une série d'équations de 

 même type {E^), [E^) etc. ; dans cette série chaque équation suivante est de 



même ordre au plus que l'équation précédente. La condition nécessaire et suffisante 

 pour que l'équation [E) admette s X-intégrales distinctes de rang inférieur à m -|- 2 

 est que l'équation {Emj^i) soit d'ordre n — s. Supposons que les équations 

 (-Ej), (E^), . . . [Emt) soient d'ordre n et que l'équation [Enn + i) soit d'ordre 

 L'équation {Em^) admet alors une X-iutégrale de rang 1 ; cette intégrale est 

 obtenue par une quadrature, et de cette intégrale l'on obtient sans intégration une 

 X-intégrale de rang Wj + 1 de l'équation {E). Pour reconnaître si l'équation [E) admet 

 encore d'autres X-intégrales, nous pouvons répéter la transformation (T,), ou, autre- 

 ment dit, former les équations (jE^j _|_ 2), (jB,,,, _)_;î), (J?,,!i + 4), d'ordre n — 1 au plus. 

 Supposons que les équations (£"„„ + 1), (Emi + 2), ■ ■ ■ ■ {Em.,), soient d'ordre n — J et que 

 l'équation {Em.> + i) soit d'ordre n — 2. Dans ce cas, l'équation (.E,,,.,) admet une Xinté- 

 grale de rang 1, qui s'obtient par une quadrature; cette intégrale nous donne 

 sans intégration une X-intégrale de rang m.^ — de l'équation {E,ih + i) et par une 

 quadrature, on obtient une X-intégrale de l'ang — -|- 1 de l'équation (jE„iJ; l'équa- 

 tion {E) admet par suite une X-intégrale de rang -\- 1, et pour obtenir cette X-inté- 

 grale de l'équation {E), il ne faut que des quadratures. Ainsi nous pouvons con- 

 tinuer. Mais il est à remarquer que si l'ordre de l'équation {Em) est diminué de s unités 

 {s > 1) par l'application de la transformation (TJ — c'est-à-dire l'ordre de l'équation 

 (Em + i) est moindre de unités que l'ordre de l'équation {Em) — et que par suite 

 l'équation (E) admette s X-intégrales distinctes de rang m -f 1, il faudra intégrer 

 une équation différentielle 'linéaire d'ordre s pour obtenir les s X-iutégrales de rang 

 m -\- 1 et les X-intégrales éventuelles de rang supérieur. Ainsi pour obtenir les 

 X-intégrales de l'équation {E), il faut l'intégration d'équations différentielles linéaires 

 du premier ordre (ou en cas exceptionnel d'ordre supérieur). Supposons que nous 

 ayons obtenu de cette manière A'-intégrales de rang nij -f 1, -\- l, . . . -\- 1 

 de l'équation {E); les s A-intégrales ne peuvent être remplacées par des A-inté- 



