Extension de la méthode de Laplace 



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grales de rang inférieur. Pour obtenir l'intégrale générale de l'équation {E), il faut 

 encore l'intégration d'une équation du type (20) et d'ordre n — s. Nous voyons 

 ainsi que si l'équation [E) admet q X-intégrales distinctes, l'intégration de l'équation 

 (E) peut être ramenée à l'intégration d'équations différentielles linéaires. 



Voilà donc une raétliode pour obtenir les X-intégrales de l'équation (20). Par 

 l'application de la transformation complètement déterminée (21) m fois de suite à 

 l'équation (20) nous pouvons reconnaître si l'équation admet une A'-intégrale de 

 rang inférieur h m 1 et, dans ce cas, ramener la détermination de cette Xinté- 

 grale où de ces X-intégrales à l'intégration d'équations différentielles linéaires. Les 

 résultats reçus en appliquant la transformation de Laplace (21) à l'équation (20) 

 sont tout à fait analogues à ceux obtenus pour la transformation (6), appliquée 

 à l'équation (1). 



D'après Le Roux (voir pages 10, 11), l'équation (20) admet une transformation 

 de Laplace correspondant au sj'^stème de caractéristiques y = const., c'est-à-dire la 

 transformation complètement déterminée (21'); c'est la transformation la plus simple qui 

 permette de diminuer le rang de la F-intégrale, le caractère essentiel d'une trans- 

 formation de Laplace correspondant à la variable caractéristique y. Mais si l'on 

 applique la transformation (21') à l'équation (20), 0 est en général définie par q équa- 

 tions linéaires d'ordre 2g. Il n'est donc pas commode d'appliquer la transformation 

 (21') pour simplifier l'intégration de l'équation (20) Nous verrons qu'il existe des 

 transformations linéaires par lesquelles l'équation (20) est ramenée à une équation 

 de même type et de même ordre au plus, et qui, appliquées à une équation (20) 

 admettant une ^intégrale, diminuent le rang de la Fintégrale de 1, 2, ... q unités 

 respectivement, à savoir les transformations qui sont inverses aux transformations 

 (^j), (/g), . . . {t,j). Il est tout naturel d'examiner si ces transformations peuvent être 

 considérées comme des transformations de Laplace à l'équation (20), correspondant 

 au système de caractéristiques y = const. 



Supposons que par la transformation (40) l'équation (20) soit, ramenée à une 

 équation de même ordre, e-^ est définie par l'équation (43). Par la transformation 



l'équation (43) est ramenée à l'équation (20). Nous disons aussi que cette transfor- 

 mation est inverse à la transformation (40). 



Maintenant nous allons appliquer la transformation en question à l'équation 

 (20). L'équation (20) peut toujours s'écrire 



7-1 



(47) - A 



T dt/ 



: 0 



où Bi, Si, T, Y sont des fonctions de x et de y; Rq^i= 1. Posons T :^ 0, ou, 



autrement dit, supposons que l'équation adjointe (23) n'admette pas l'intégrale -(X. 

 Par la transformation 



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