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Louise Petrén 



(/-I 



(48) I 1. + .9,^ , 



dx d!/' dy' 



l'équation (47) est ramenée à l'équation 



(49) T V (//,■ + Si —] (4r- — (Y.^-i)^ + Tz. = O, 



1 = 0 



qui est du même type et du même ordre qvie l'équation (20). La transformation 



(48) est inverse à la transformation 



qui, à un facteur près, est une transformation (t^). La condition nécessaire et 

 suffisante pour que l'équation (20) puisse se mettre sous la forme (47) où T =1= 0 

 est que l'équation adjointe (23) n'admette pas q X-intégrales distinctes de rang 1, 

 ou, autrement dit, que l'équation (20) n'admette pas une Y-intégrale de rang 1. 



Je dénomme la transformation (48) une transformation (i(_i), puisqu'elle est 

 inverse à une transformation qui, à un facteur près, est une transformation (i,). 



L'intégration de l'une des équations (47) et (49) entraîne celle de l'autre, et 

 les équations admettent le même nombre d'intégrales de la forme d'Euler (d'après 

 la proposition 4). 



Supposons que l'équation (20) admette s X-iutégrales distinctes de rang /«^ -f 1» 

 m^-j-l, ... m.,-\-l qui ne puissent être remplacées par des X-intégrales de rang 

 inférieur. Soient les s Z-intégrales de l'équation (20) les intégrales (29). L'équation 



(49) admet les s X-intégrales 



7.07, [h=l, 2, ... s) sont s intégrales distinctes de l'équation 



(49') ^ ^ 



ï y Tii 



i = 0 



= 0. 



Si ao/t {h = 1, 2, ... s) sont des intégrales de l'équation 

 (49") 1 B i ^ = 0, 



les intégrales (C/J-i [h — 1, 2, ... s) sont de rang -)- 1, w/g -f ], ... m., -|- 1 au 

 plus; et il résulte de la proposition 4 que les intégrales (C/))-i (/i= 1, 2, ... s) sont 

 de rang -f 1, -|- 1, . . . m« -)- 1 6t ne peuvent être remplacées par des X-inté- 

 grales de rang inférieur. Supposons que non toutes les a.Qj, [h = \, 2, ... s) soient 

 des intégrales de l'équation (49"); posons 



v/^,l^_o (;. = !, 2, ...i-i), Si^.iL^^o 



