Extension de la méthode de Laplace 



43 



En appliquant la substitutiou 



,9 



xj = X, + 2 /, {x) Air'^-'"^-) , 



h =/+ 1 



nous remplaçons les s — j intégrales C/i (/i = y+ l,i + 2, ... s) par s — j Xinté- 

 grales de même rang qui correspondent h 



Comme «o/, (/»=1, 2, ... s) sont s intégrales distinctes de l'équation (49') nous 

 pouvons disposer de fh{x) {h ^. j -\- 1, j -{- 2, ... s) de telle manière que 



«0/1 + fh {x) C/.oj 



seront des intégrales de l'équation (49"). Supposons que la substitution eu question 

 ait déjà été appliquée. Nous avons ainsi 



0 



[h 



1, 2. 



i— 1, i+ 1. ■ • ■ 4 



,•=0 



Les intégrales (C/i)-i = 1, 2, ... s) sont de rang -{- \, + 1, 



m 



+ 1, 



mj -\- 2, j«y-|_i-)~ 1, . . . w?, -|- 1 au plus; et il suit de la proposition 4 qu'elles sont 

 de rang -f 1^ ■ ■ ■ + 1- "V + 2, ?7ïy+i -f 1, . . . nis -\- l et qu'elles 



ne peuvent être remplacées par des A-intégrales de rang inférieur. 



De la proposition 4 il résulte directement que si l'équation (20) admet 

 une Y-intégrale de rang r-|-l, l'équation (49) admet une F-intégrale de rang r. 

 La transformation en question peut ainsi être appliquée à une équation (20) qui 

 admet une F-intégrale de rang supérieur à 1 pour ramener celle-ci à une équation 

 de même type et de même ordre qui admet une Y-intégrale de rang 1. Mais la 

 transformation (^_i) n'est évidemment pas complètement déterminée, si g > 1, pas 

 plus que la transformation [t^). 



Proposition 8. Lorsque l'équation (20) n'admet pas une Y-intégrale de rang 

 1, l'équation peut s'écrire 



T dy 



^ V dxdy' ^ dy' 



1 = 0 



+ T^ = 0- T^O; R,^x=^\. 



La transformation 



conduit à l'équation (49) 



o' W 1 a 



i = 0 



T^_i) + r^_i=o. 



