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Louise Peti én 



La transformation en question est inverse à la transformation 



V 



1 d , 

 ^ — — t;^ vi^-D- 



qui, à un facteur près, est une transformation [t^). L'intégration de l'une des équa- 

 tions (49) et (20) entraîne celle de l'autre; les équations (20) et (49) admettent le 

 même nombre d'intégrales distinctes de la forme d'Euler. — Supposons que l'équa- 

 tion (20) admette s A'-intégrales distinctes de rang -j- 1, mç, -|- 1, . . . + 1 qui 

 ne puissent être remplacées par des Xintégrales de rang inférieur. Soient les s Xinté- 

 grales de l'équation (20) les intégrales (29); si ao/, (^ = 1, 2, ... s) sont s intégrales 

 de l'équation 



S/A-^° = 0, 



■ ■ iZ, w 



l'équation (49) admet s X-intégrales de rang + 1, m^-\- \ , . . . nia -f 1 qui ne 

 peuvent être remplacées par des. X-iutégrales de rang inférieur, et si 



it, W 



0 



(h 



1, 2, 



it, 



l'équation (49) admet s X-intégrales de rang -\- \, -{- \, . 



m,- 



.1+ 1, my +2, 



wîy4-i-|- 1, . . . + 1 qui ne peuvent être remplacées par des X-intégrales de rang 

 inférieur. — Si l'équation (20) admet une F-intégrale de rang r -)- 1, l'équation 

 (49) admet une F-intégrale de rang r, et inversement. (Comparer en outre la 

 proposition 4). 



Nous savons que, pour l'équation (1), ce fait notable a lieu: Si Ton applique 

 la transformation (6) à l'équation (1) et la transformation 



^<_ 1 = — bu], ou h — \- al) 



h Xdx / dx ^ 



c, 



à l'équation adjointe (14), l'on obtient deux équations qui sont encore adjointes. 

 Nous allons maintenant prouver que le cas analogue a lieu pour l'équation (20). 



Nous avons trouvé (pages 28, 29) que la transformation (40) appliquée à 

 l'équation (20) conduit à l'équation (43), pourvu que Bf^^^O. Comme l'équation (20) 

 peut s'écrire 



1 



a V 



A, 



dxdif 



3// "V d!/% ° 



l'équation adjointe (23) peut s'écrire 



S (- 1)^+^ 



i = l 



-^B,u-^0^ 



L'adjointe de l'équation (43) peut s'écrire 



(ÔO) 



1 



ni+l 



'» = 1 



'Ai d 



dxdy 



B,dy 



Bi d 



0. 



