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Louise Petrén 



Désignons l'intégrale de l'adjointe de cette dernière équation par ^t_2■ Nous 

 aurons alors 



et comme 



nous obtiendrons 



1 ^ I V 



u = ^— {%B,M _ i), 



1 d d , Y, -, 



u = (a„s,/y„,««-.^2 , 



qui est une transformation (t^). Nous avons ainsi reçu le résultat suivant: Si l'équa- 

 tion (20) est ramenée, par la transformation 



à une équation de même ordre, l'adjointe de cette dernière équation sera ramenée 

 à l'équation (23) par la transformation 



qui est^une transformation {t^). 



Nous pourrons continuer de cette manière en appliquant une transformation 

 (^j), (f.^) etc. à l'équation (20), et nous obtiendrons des résultats analogues. 



Proposition 9. Lorsque l'équation (20) est ramenée à une équation de même 

 ordre par une transformation [U], il existe aussi une transformation [U) par laquelle 

 l'adjointe de l'équation transformée est ramenée à l'équation (23) ; la proposition 

 est valable pour i= 1, 2, ... q et pour i = — 1. 



Nous allons maintenant tirer quelques conclusions des propositions 8 et 9. 

 Si nous supposons que l'équation (20) admette q X-intégrales distinctes de rang 



1, -j- 1, . . . Wq -f- 1 qui ne puissent être remplacées par des X-integrales de 



n 



rang inférieur, l'équation (20) peut être transformée, par l'application de '^m^ transfor- 



mations (ifj convenablement choisies, à une équation de même type et de même 

 ordre qui admet q A'-intégrales distinctes de rang 1 ; l'adjointe de cette dernière équa- 

 tion admet par suite une F-intégrale de rang 1 ; d'après la proposition 9 cette équa- 



tion adjointe peut être transformée à l'équation (23) par l'application de ^nii trans- 



i = l 



formations (^,) convenablement choisies; ainsi l'équation (23) admet une F-intégrale 

 de rang Sm/ 1. — Inversement, si nous supposons que l'équation (23) admette 



une F-intégrale de rang r -\- l, nous pourrons en appliquant r transformations (^_i) 

 convenablement choisies ramener l'équation (23) à une équation de même type et de 



