Extension de la méthode de Laplace 



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même ordre qui admet une F-intégra!e de rang 1; l'adjointe de cette dernière équa- 

 tion admet q A'^-intégrales distinctes de rang 1; d'après la proposition 9, cette équation 

 adjointe peut être transformée à l'équation (20) par l'application de r transformations 

 (^_i) convenablement choisies; ainsi l'équation (20) admet g A''-intégrales distinctes, et 

 si les Z-intégrales sont écrites sous une telle forme qu'elles ne puissent être remplacées 

 par des Xintégrales de rang inférieur, la somme de leur rang est r -\- q. 



Proposition 10. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) 

 admette une Y-intégrale est que l'équation adjointe (23) admette q Z-intégrales 

 distinctes. Si l'équation (23) admet q X-intégrales de rang ^ \, -\- \ , . . . -\- 1 

 qui ne peuvent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur, l'équation 



(20) admet une Z-intégrale de rang V;/?,- -|- 1. Et réciproquement, lorsque l'équation 



(20) admet une F-intégrale de rang r -\- 1, l'équation (23) admet q A'-intégrales 

 distinctes et, si les A''intégrales sont écrites sous une telle forme qu'elles ne puissent 

 être remplacées par des A-intégrales de rang inférieur, la somme de leur rang est 

 r + q. 



Par là est donnée une méthode pour reconnaître si l'équation (20) admet une 

 F-iutégrale. Nous pouvons partir de l'équation adjointe (23) et examiner si cette 

 équation admet q Xintégrales distinctes. De cette manière nous pouvons reconnaître 

 si l'équation (20) admet une F-intégrale, mais nous n'avons pas avec cela obtenu 

 r F-intégrale, lorsque l'équation en admet une. Nous allons maintenant étudier 

 les transformations inverses à (^J, [t^, . . . (tq), rechercher à quel point ces trans- 

 formations nous permettent de simplifier l'intégration de l'équation (20) et examiner 

 si nous pouvons, par l'application de ces transformations, déterminer 1' F-intégrale 

 de l'équation (20), lorsque l'équation eu admet une. 



La transformation 



did i d \ d ^ _ , . 



oy -X oy £3 0// =1 cy «0 



est une transformation [tj) de Téquatiou (20) 

 E M/ ^ Bl — = 0, 0" Y, Äi — ■.= a,,s E . £q-i- 



[voir page 35]. Supposons maintenant que la transformation (51) conduise à une 

 équation d'ordre n, ou autrement dit, que l'équation (20) n'admette pas d'intégrale 

 de la forme }wY, où g^k) = 0. Nous avons déjà vu que e peut s'exprimer linéaire- 

 ment à l'aide de Zj et de dérivées de 0j. Cela résulte aussi de ce qui suit. L'équa- 

 tion (20) peut s'écrire 



(52) V Mi r + Ni -^k- + V i. ^ = 0, 



