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Louise Petrén 



OÙ Zj = g{0); Mi, Ni, Li étant des fonctions déterminées de x et de y. Eu différen- 

 tiant l'équation (5"2) j — 1 fois par rapport h y et l'équation (51) j — 2 fois par 

 rapport à et en éliminant entre ces 2j — 1 équations les 2(j — 1) quantités 



— r; 7 — — ô,--- — r, , — , nous obtiendrons une équation de la forme 



Y Vi 4- Wi 



iZo\ "à^^^y 



Vi, Wi et V étant des fonctions de x et de 7/; en divisant par un facteur on peut 

 ajouter la condition non essentielle que le coefficient de la plus haute dérivée de 

 Sj qui se trouve dans la relation obtenue sera égal à 1. Comme nous avons supposé 

 que z soit définie par une équation d'ordre n, nous aurons v 4=0. Je nomme la 

 transformation 



laquelle, à un facteur près, est inverse à une transformation (/y), une transformation 

 (^_j) de l'équation qui définit 0j. 



Une transformation {t—j) (î^ii^l) de l'équation (20) doit par suite être de 

 la forme 



(53) Z-j^Y.{Ti- .^üi—]z, 



Tj et TJi étant des fonctions de x et de y. Il résulte de la proposition 9 et de la 

 définition de la transformation {t^j) que la condition nécessaire et suffisante pour 

 qu'il existe une transformation [t^j) à l'équation (20) est que l'équation adjointe (23) 

 admette une transformation [tj) par laquelle l'équation (23) est ramenée à une équa- 

 tion de même ordre. Et la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une 

 transformation [tJ) par laquelle l'équation (23) est ramenée à une équation de même 

 ordre est que l'équation (23) admette au plus q—j X-intégrales distinctes de rang 

 1. Avec la définition que j'ai donnée pour la transformation [t-j), la condition 

 nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) admette une transformation {t-j) 

 est ainsi que l'équation adjointe admette au plus g — j X-intégrales distinctes de 

 rang 1. 



Maintenant nous allons définir les coefficients T,- et Ui de l'équation (53) en 

 fonction des coefficients de l'équation (20); nous partons de ce que l'équation (23) 

 admet au plus q — j X-intégrales dislinctes de rang 1. Comme la transformation 

 (53) est inverse à une transformation [tj], à un facteur près, il existe une relation 

 de la forme 



(54) ÎF.^^^^, (F,-=l; |x + 0), 



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