Extension de la méthode de Laplace 



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Fl-, [X étant des fonctions de x et de y. II en suit qu'il existe une identité de la 

 forme 



7-1 



Gk étant des fonctions de x et de «/. L'identité en question peut s'écrire 



(64") 



A- = 0 z -= 0 = 0 



Zj dy\L4 dtf ^ dy'\^^ dy[ 



k = 0 



2=0 



k = 0 



La coudition nécessaire et suffisante pour qu'une identité de la forme (54") ait 

 lieu est que l'équation (33) et l'équation 



(54"') 



dy' 



2 = 0 



admettent q — j intégrales distinctes communes. Les q coefficients T/ {i= 0, 1, . . . q — 1) 

 doivent par suite remplir les q — j conditions nécessaires et suffisantes pour cela. 

 Nous avons déjà vu (pages 23, 24) comment l'on obtient ces q — conditions. Il 

 va de soi que l'équation (54"') est au moins d'ordre q—j- Nous voyons aussi 

 immédiatement que si l'équation (54"') est d'ordre q — s, nous avons C/"/ = 0 

 {i = q~\, q—2, ...q — s^\). 



Avant d'examiner quelles conditions les coefficients Ti, U; {i — 0, 1, ... q — 1) 

 doivent encore vérifier pour que l'identité (54') ait fieu, nous écrirons la trans- 

 formation (53) sous une forme un peu modifiée. 



Nous allons employer la désignation 



dxdy 



ik-^0,h...q) 



les coefficients Q et 2)/ étant définies par les équations (38'). D'après cette désigna- 

 tion l'équation (20) s'écrit <Sp(^) = 0. En différentiant par rapport à y nous obtenons 



dy 



ê,(^) =ê,_i(^) + (-!)'/ ■ 



^{Ck-i^)-Dk-,e 



où 



ê,_ i(^) + (_.l)';-^-[C,,_„iê,(^) + Qk-10] (/v = 1, 2, ... g) 



Qi = ^ + CiBq — A [voir page 26]. 



cx 



gq + i— 



La plus haute dérivée de s dans l'expression &i[z) étant toujours _j , la trans- 



formation (53) peut s'écrire 



Lnmls Univ. Årssknft. N. F. Afd. 2. Bd 7. 



cixdy 



q — i 



