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(55) 



o 



Louise Petrén 



z- i S T, — - + IJ~\ = I c- Hz) + S di 



dxdy 



^ j'è'^" 'z 



' =1 



.1 



q — i 



Ci et di étant des fonctions de a? et de y. En différentiant par rapport à y nous 

 obtenons 



1 = 1 1 = 1 i! = 1 ■'i = i J 



1 = 1 



i: = 1 



où la désignation e,' = — est employée. En introduisant les coefficients 



dy 



cZç + i définis par l'identité 



i = l 



nous obtiendrons 



et 



8£-7 

 9// 



1 



, 8 V , 8"-'< 



' = 1 



8.'/'- 



puisque <So(,?) = 0. De luême, nous obtiendrons en introduisant les coefficients 

 Cîi t^i = g + 1, î -f- 2, . . . g -|- définis par les ; identités 



i = 1 



1), - y 



/t = 0 



// ! (/,■ - h) ! 



+ = 0,1,. ..;-!) 



les j équations 



8/ 



V 



2=1 /, = 0 



/i! (/^ — A)! 



/) = 0 



2, ...j) 



8/ .Zj dy'^ ~ ' 



la désignation c-''' = — ^ est employée ici. En substituant les expression obtenues de 



du" 



8/ 

 (55') 



(/■ = 0, 1, . . . j) dans l'équation (54), nous aurons 



V 



k = 0 



A- 



F,.V V 



1 = 1 /t = 0 



le 



h ! (/-■ - - /i) ! 



V 



/.■ - 1 



// = 0 



+ 



Une condition nécessaire pour que la transformation (55) soit une transformation (/_,) est 

 que l'équation (55') se réduise à une identité. Nous allons maintenant examiner 

 quelles relations doivent vérifier les coefficients Cj, (ii (i = 1, 2, . . . g +i), pour qu'une 

 identité de la forme (55') ait lieu, quand l'identité (54") est supposée. Comme 

 l'identité (54") a lieu, l'équation (55') ne peut contenir des dérivées de z par rapport 

 à et la condition nécessaire et suffisante pour cela est que tous les coefficients 



