Extension de la niétliode de Laplace 51 



de (i=l, 2, . . . g) daus l'équation (55') soient nuls. De l'identité (54") il 



résulte donc que l'équation (55') se réduise à l'équation 



1»"^' Éh-'S|^!*H-.-.^))+ VJ-.|ï VA.|^^=,. (70=1; , + 0). 



Nous voyons immédiatement que la condition nécessaire et suffisante pour que 

 l'équation (55") se réduise à une identité est que l'on ait di — 0 [i = 1, 2, ... g+.y — 1), 

 dqj^j=\^. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) et l'équa- 

 tion (55) 



nous donnent une relation de la forme (54) est ainsi que les équations (33) et 

 (54"') admettent q — j intégrales distinctes communes et que l'on ait d,- = 0 

 (^ = l, 2,...q-\-j — ]), dq^j:!^0. L'équation qui définit b -j peut être obtenue de 

 la manière suivante. L'élimination des ^ — 1 quantités ê,(^) (i=l, 2, . . . j — ^ 1) 

 entre les équations 



8/ Zj Zj {k — h)\ h I 

 conduit à une équation de la forme 



X/ et Vf; étant des fonctions de x et de //. Si nous substituons 



dans cette équation, nous obtiendrons une équation en z^,- qui est du même type 

 que l'équation (20). Nous voyons immédiatement que la transformation 



est (au facteur \x près) une transformation {tj). 



La condition nécessaire et suffisante pour que la transformation (55) soit (à un 

 facteur près) une transformation (if y) à l'équation (20) est ainsi que les équations 

 (33) et (54"') admettent g — j intégrales distinctes communes et que l'on ait 



t^, = 0 (i = 1, 2, . . . g -fi - 1), 0- 



La transformation [t—j) est ainsi de la forme 



Z-j - 'Ï.Ci&i(z) . 



i = l 



Nous allons maintenant examiner ce qu'expriment les conditions di = 0 (t = g + 1, 

 g-1-2, ...g+i — 1), dq+j^O. Les conditions df — 0 [i z= q -\- 1, g 2, . .. g -j- j — 1) 

 nous donnent les — 1 identités 



