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Louise Petrén 



qui, à un facteur près, est la transformation adjointe de la transformation (51) 

 est de la forme 



<7-l 



U 



OÙ les équations 



i"r=0 



admettent les q — j intégrales distinctes Yoi {i=j -\- 1; j -\- 2, ...q) en commun, et 

 la transformation [f-j) en question est par cela complètement définie. — Nous 

 voyons immédiatement que la proposition 9 est valable aussi pour les transforma- 

 tions (t^i) (i — 2, 3, ... q). 



Parmi les transformations {t^2) ■ ■ ■ {i - q), la transformation (t-,j), que je 



désigne aussi par (^-i), est du" plus grand intérêt, car elle est complètement déter- 

 minée. La transformation (T_ i) est de la forme 



■ q — S Ci Qi{z), 

 1 = 1 



OÙ les coéfficients c,- {i = 1,2, ... q), h un facteur près, sont définis par les q — 1 

 relations linéaires et homogènes obtenues à l'aide du système d'équations (56') et 

 où l'inégalité (56"") pour h. — q — 1 a lieu. Cette inégalité nous donne la condition 



et la condition 



q-\ 



CiQoq ^ 0, si (>i, 4: 0, 



Ql, q - 1 



Cl^^Ô, + si 



4^2, 



q-2 



= 0 

 + 0 



etc. Ainsi l'inégalité en question exprime que l'équation (23) n'admet pas de X-inté- 

 grale de rang 1 et que nous devons avoir Ç,- ^_., = 0 {i — 1,2, ...r) pour que 

 la transformation (T—\) soit d'ordre q — r. Si Qq-h,h^Q (/i = 1, 2, ... g — 2), la 

 transformation (T_i) est de la forme 



&q{^) 



Qq - 1, 1 

 0 



- ^"y - i(^) 



Qq - 2, 1 



Qq-2, 2 



0 



Qq-3, 1- ■ ■ ■ Qii Qoi 



Qq-3,2---- Qi2 Qo2 



0 



Ql,q 



Q 



'0, q 



OÙ le facteur M doit être choisi, si Qi^ _i=j=Oi d'une telle rnanière que le coefficient 

 de S-^{z) soit égal à 1 et, si f^_i = 0, d'une telle manière que le coefficient de 

 soit égal à 1. Si = 0 [h = s, s -\- \, . . . s -\- r — 1), la transformation 



