Extension de la méthode de Laplace 



57 



peut encore se mettre sous la forme d'un déterminant d'ordre au plus, ce 

 qui résulte du système d'équations (56"'). 



Nous avons donc obtenu le résultat suivant: Si l'équation (23) n'admet pas 

 de X-intégrale de rang 1, il existe toujours une, et une seule, transformation (T-i) 

 de l'équation (20), et par cette transformation l'équaton (20) est ramenée à une 

 équation de même type et de même ordre. En partant de l'équation (20) et en 

 appliquant la transformation (T-i) plusieurs fois de suite, l'on obtient une série 

 d'équations que je désigne par [E--î), [E-2), (Es), . . . .; et par l'application répétée 

 de la transformation (T-j) à l'équation (23), l'on obtient une série d'équations que 

 je désigne par (E'-x), (-K-2), (ELz), .... (comparer page 37). L'intégrale de l'équa- 

 tion [E-i) diffère seulement par un facteur de l'intégrale de l'adjointe de l'équation 

 {E'i); en négligeant ce facteur, on peut dire que les deux équations (E-i) et {E'x) 

 sont adjointes. De même il est aisé de voir que l'intégrale de l'équation [E-i] 

 d'ordre n diffère seulement par un facteur de l'intégrale de l'adjointe de l'équation 

 (Ei), et en négligeant ce facteur, l'on peut dire que les équations (£'_;) et (E'i) 

 d'ordre n sont adjointes. 



ProjJOfition 11. Une équation [E] dont l'équation adjointe [E') n'admet pas de 

 X-intégrale de rang 1 est ramenée par la transformation complètement déterminée ( T-x) 



g 



Z— q = \ Ci ßiiß)^ 

 1 = 1 



les coefficients Ci[i = 1,2 ... q) étant déterminés par les q — 1 équations linéaires et 

 homogènes qu'on obtient en éliminant les g — 1 coefficients Cj(* = g -f-li 9' + 2, ... 2g — 1) 

 entre les 2(g — 1) équations 







h 



S 



(- 1) 





! = 0 





k = 0 







h 



S 



(- 1) 





1 = 0 







k\ [h — lc)\ 

 h\ 



Q 



(k) 



i+k-h 



0, 



0. 



{h^O, 1. ...q — 2) 



k\ {h — Jc)\ 



à une équation (-E'__i) de même type et de même ordre; les q — 1 équations linéaires 

 et homogènes qui, à un facteur près, définissent les coefficients Ci[i = 1, 2, . . . q) 

 peuvent s'écrire 



'Y^i-iya+xQiä^-O (/i= 1,2, ...2-1), 



0 



si Qq h, h^O (A = 1 , 2, 



Qq_h_,i=0 [h = s, s 1, . 



elles peuvent s'écrire 



q — 2), et dans le cas où 

 5 + r-l), ^,_,,,4:0(Ä= 1,2, 

 (s + r — 1 < g — 2) 



.s— l,s4-r,...g — 2), 



^(-^ lYa + xQik^O (h^\,2, ...s, ^ + r4- 1, ...g-1), 



q—s+h — r 



! = 0 



Ci + 1 



h\ 



Mt+k—h, 



k = 0 



Lunds Univ:s Årsskrift. N. F. Afd. 2 



[h-k) 

 Bd 7. 



{h= 1,2, ...r); 



