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Louise Petrén 



le facteur non essentiel doit être choisi de manière que le coefficient de la plus 

 haute dérivée de s dans la transformation soit égal à 1. La transformation est, à 

 un facteur près, inverse à la transformation L'intégration de l'une des équations 



(E) et entraîne celle de l'autre; de toute intégrale de l'une des équations l'on 



obtient sans intégration une intégrale de l'autre équation. L'équation ne peut 



admettre de X-intégrale de rang 1. [Comparer de plus la proposition 6.] 



La transformation ne peut s'appliquer directement à une équation (20) 



dont l'équation adjointe (23) admet une X-intégrale de rang 1. Supposons que 

 l'équation (23) admette s — et pas plus de s — X-intégrales distinctes de rang 1. 

 Par l'intégTation d'une équation différentielle linéaire d'ordre s, l'équation (20) peut 

 s'écrire (39') 



A l'équation (39') la transformation complètement déterminée (T_i) peut s'appliquer; 

 c'est seulement une différence de peu d'importance que le second membre de 

 l'équation (39') n'est pas nul. En appliquant la transformation (T-i) à l'équation 

 (39') on obtiendra une équation de même type et de même ordre où le second 

 membre est une fonction linéaire de 



Xi, Xi (t=l,2, ...s). 



Je désigne ici encore l'équation obtenue par {E^x). Et par l'application répétée de la 

 transformation (T-i) l'on obtiendra une série d'équations qui peuvent être désignées 

 par {JE-i}, (E-2), (-E^-3) etc. En substituant Xi = 0 (i = 1, 2, ... s) dans le second 

 membre de l'équation (-EJ-/,) d'ordre n — s, nous obtiendrons une équation dont 

 l'intégrale ne se distingue que par un facteur de l'intégrale de l'adjointe de l'équa- 

 tion (-Ê'ft); en négligeant ce facteur l'on peut dire que l'équation (Eh) et l'équation 

 (E-h) dont le second membre a été remplacé par zéro sont des équations adjointes. 



Par l'application de la transformation (T_i) nous pouvons reconnaître si l'équa- 

 tion (20) admet une l^-intégrale et, s'il y en a, ramener la détermination de cette 

 intégrale à une quadrature et ramener l'intégration de l'équation à l'intégration 

 d'équations différentielles linéaires. Nous pouvons procéder de la manière suivante. 

 La transformation (T_i) peut s'appliquer à l'équation [E) jusqu'à ce que nous 

 obtenions peut-être une équation dont l'équation adjointe admet une X-intégrale de 

 rang 1. Supposons que l'adjointe de l'équation [E^mi) admette — et pas plus 

 de — ^intégrales distinctes de rang 1 ; il en suit que l'équation {E') ad- 

 met s.^ — et pas plus de — X-intégrales distinctes de rang m^^ -\- 1. 

 Par l'intégration d'une équation différentielle linéaire d'ordi'e s^, l'ordre de l'équation 

 [E-m) peut être diminué de unités, et puis on peut de nouveau appliquer la 

 transformation (T_i), jusqu'à ce que nous obtenions peut-être une équation dont on 

 pourra diminuer l'ordre encore une fois de la même manière. Si nous supposons 



