Extension de la méthode de Laplace 



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que l'ordre de l'équation {E-m-^ {m^ > m^) puisse être diminué de unités, cela 

 exprime que l'équation (£") admet A'-intégrales distinctes de rang m^-\- 1 etc. 

 Par l'application de la transformation iT_{) à l'équation [E) nous pouvons par suite 

 reconnaître si l'équation (E') admet des X-intégrales, et si l'équation {E') admet 

 s A'-intégrales distinctes de rang inférieur à m -\- 2, nous pouvons par l'applica- 

 tion de la transformation (T-i) m fois au plus et par l'intégration d'équations différen- 

 tielles linéaires {s équations du premier ordre ou, en cas exceptionnel, un plus petit 

 nombre d'équations d'ordre supérieur) diminuer l'ordre de l'équation [E) de s unités. 

 Si l'équation {E') admet s X-intégrales de rang m^ -\- 1, -\- 1, . . . nig -\- 1 

 {m^ »«2 — ■ • ■ — *'^») ^1^^ peuvent être remplacées par des intégrales de rang 

 inférieur, nous obtiendrons de cette manière une équation d'ordre n ■ — s, dont le 

 second membre est une fonction linéaire de 



de toute intégrale de cette équation on obtient sans intégration une intégrale de l'équa- 

 tion {E). Ainsi lorsque l'équation (E') admet q Z-intégrales distinctes et que, par suite, 

 l'équation [E] admet une F-intégrale, l'intégration de l'équation (E) peut se ramener 

 à l'intégration d'équations différentielles linéaires. Si l'équation [E') n'admet pas de 

 Z-intégrale, nous ne pouvons atteindre plus près à l'intégration de l'équation {E) en 

 appliquant la transformation à l'équation {E). 



En appliquant les transformations complètement déterminées (TJ et à 

 l'équation (20) nous avons obtenu des résultats qui sont tout à fait analogues à ceux 

 obtenus en appliquant les transformations de Laplace à l'équation (1) et c'est 

 ainsi que nous avons étendu la méthode de Laplace à l'équation (20). Chaque 

 intégrale de la forme d 'Euler de l'équation (20) peut s'obtenir par la méthode de 

 Laplace. Pour obtenir les intégrales de la forme d'Euler il ne faut que l'intégration 

 d'équations différentielles linéaires du premier ordre ou, en cas exceptionnel, 

 d'ordre supérieur. Lorsque soit l'équation (20) soit l'équation adjointe (23) admettent 

 5 X-intégrales distinctes, l'ordre de l'équation (20) peut être diunnuée de s unités. 

 Dans le cas ou ni l'équation (20), ni l'équation adjointe (23) n'admettent une 

 X-intégrale, la méthode de Laplace est raanquée. 



Nous avons trouvé que si l'une des équations (20) ou (23) admet q X-inté- 

 grales distinctes et que par suite l'autre équation admette une F-intégrale, l'intégra- 

 tion de l'équation (20) peut être ramenée, par la méthode de Laplace, à l'intégration 

 d'équations différentielles hnéaires. Mais pour que l'équation (20) puisse être ra- 

 menée par la méthode de Laplace à l'intégration d'équations différentielles linéaires, 

 on n'est pas exclusivement renvoyé à cette condition que l'une des équations (20) 

 ou (23) admette une Y-intégrale. Supposons que l'équation (20) admette s — et pas 

 plus de s — X-intégrales distinctes, où q > s > 0. Soient les s X-intégrales de 

 l'équation (20) les intégrales (29) et supposons qu'elles ne puissent être remplacées 

 par des X-intégrales de raug inférieur à -f 1, -j- 1, . . . m, -f 1- appli- 

 quant la transformation (TJ + 1 fois, l'intégration de l'équation (20) est ramenée 



