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Louise Petrén 



à l'intégration de l'équation (^,„^,_|.i), qui est d'ordre n — s, et à l'intégration d'équations 

 différentielles linéaires. L'équation (Em^~i-i) peut très bien admettre une F-intégrale, sans 

 que l'équation (20) admette une Z-intégrale (voir proposition 7); et l'intégration de 

 l'équation (20) peut être ramenée à l'intégration d'équations différentielles linéaires, sans 

 que l'équation (20) admette soit q X-iutégrales distinctes, soit une F-intégrale. La 

 condition nécessaire et suffisante pour que l'équation {Em.^j^i), qui est d'ordre n — s, 

 admette une Y-intégrale est que l'équation adjointe admette q — s X-intégrales 

 distinctes, ou autrement dit que l'équation (E'-^m.+i)) dont le second membre a été 

 remplacé par zéro admette q — s Xintégrales distinctes. Une condition nécessaire 

 (non suffisante) pour ceci est que l'équation [E') admette q — s X-intégrales distinctes. 

 Supposons que l'équation (E') admette s' — et pas plus de s' — X-intégrales 

 distinctes. 11 en suit que l'adjointe de l'équation {EmJ-, qui est d'ordre n, admet aussi s', 

 et pas plus de s', X-intégrales distinctes. — Supposons < m^. Les équations 

 (^„,j4-i) et {E'-(jn^j^i)) sont d'ordre n — 1; si l'on remplace la fonction arbitraire 

 dans le second membre de l'équation [EL ^m^^-^ i)) par zéro, les équations (^^,„^4-1) et 

 E'-(mi+x)) seront adjointes, abstraction faite d'un facteur. L'adjointe de l'équation 

 (iJmj+i) admet ainsi ou s' ou s' — 1 X-intégrales distinctes; les fonctions Yoi étant 

 les solutions adjointes des solutions «oi [voir pages 27, 55], on peut déduire que si 

 l'équation [E) admet une X-intégrale qui correspond à 



<; 



Toi + 1 fii^Yloi, 



l'adjointe de l'équation (iï^^j^-i) admets' — 1 X-intégrales distinctes; sinon, l'adjointe 

 de l'équation (£^^1+1) admet s' X-intégrales distinctes. Ce résultat peut aussi être 

 exprimé de la manière suivante: Si l'équation [E') admet s' X-intégrales distinctes 

 correspondant à yoa L 2, . . . s'), où 



To/t = E/ft(^)To- (^i = 1 , 2, ... s') 



z = 2 



et où il n'existe pas de relation de la forme 



-s' 



'Zgh[xyioh = 0, 



l'adjointe de l'équation (JS^^, ,^1) admet s' X-intégrales distinctes. Mais supposons 

 = Wg, < Wg; nous obtiendrons alors de la même manière le résultat suivant: 

 si l'équation [E) admet s' X-intégrales distinctes correspondant à Yo/i {h = 1, 2, ...6-'), où 



ToÄ = S/-A(^)Toi (Ä = 1, 2, . . . s') 

 et où il n'existe pas de relation de la forme 



s' 



2.9a(^)ïo;!= 0, 



l'adjointe de l'équation (£^,„^4-1) admet s X-intégrales distinctes. Nous pouvons 

 continuer de cette manière. Nous obtiendrons alors le résultat suivant : La condition 

 nécessaire et suffisante pour que l'adjointe de l'équation (-E^.+i) admette q — s 



