Extension de la méthode de Laplace 



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X-intégrales distinctes est que l'équation {E') admette q- — s X-intégrales distinctes 

 qui correspondent h -joh {h = 1, 2, . . . q — s), où 



'/ 



ïoh = 2 fik{x)'{oi (/i = 1 , 2, . . . g — s) 

 et où il n'existe pas de relation de la forme 



q-s 



^ 9i,{x)'^oh = 0. 



h = 1 



Proposition 12. ha, condition nécessaire et suffisante pour que l'intégration 

 de l'équation (20) puisse être ramenée, par la méthode de Laplace, à l'intégration 

 d'équations différentielles linéaires est que l'équation (20) admette s (q ^ s >0) 

 X-intégrales qui correspondent à «oi (^ — 1 , 2, . . . s) et que l'équation adjointe (23) 

 admette q — s X-intégrales qui correspondent à yoa {h = 1, 2, ... q — s), où 



ToA= ^M^'m {h= l, 2, ... q — s] 

 et où il n'existe pas de relation de la forme 



q-s 



y 9h{xf(oh = 0 ; 



les désignations suivantes ont été employées 



a, 



01 



^02 



«01 



Aq - 1) 

 - 1) 



^■02 



„(5-1) 



alogS 



(^■=1, 2, ...g), 



«0,- (i= 1, 2, ... g) sont q intégrales distinctes de l'équation (33), 



J'ai déjà dit que ma définition des transformations de Laplace aux équations 

 (20) correspondant au système de caractéristiques y = const, ne coïncide pas avec 

 la définition de Le Roux des transformations de Laplace à l'équation (16). Je suis 

 parti de la supposition de Le Roux que le caractère essentiel des transformations 

 de Laplace correspondant au système de caractéristiques y — const, soit que la trans- 

 formation permet de diminuer le rang de l' Y-intégrale, mais parmi les transfor- 

 mations linéaires qui ont ce caractère essentiel, j'ai choisi une toute autre trans- 

 formation que celle de Le Roux. A ce sujet, il serait d'intérêt d'examiner quelles 

 transformations linéaires ramènent toute Y-intégrale de l'équation (16) (mise sous 

 une telle forme que y est une variable caractéristique) à une F-intégrale d'ordre 

 inférieur. ' 



J'ai défini la transformation (/-/) [q^j comme étant, à un facteur 



près, inverse à la transformation [tj). Mais on peut aussi partir directement des 

 qualités de la transformation [t^ j). Si l'on applique la transformation [t-j) à une 

 équation (20) qui admet une Z-iutégrale, le rang de l' Y-intégrale est diminué de 



