Extension de la méthode de Laplace 63 



l'on trouve 



-f ^i, m-l = ^i- 1, m — ^^i, - l(ßr -m) ii>0; m~Oj, 



la désignation S^'a = —— "étant employée. Pour m > r, cette égalité devient 



dy ~ 



+ c6,-, m- 1 = 1, m {i > 0; m> r) . 

 Cette égalité et les conditions oBom = 0 [m >_r -{- 1) nous donnent 



êBim=^ 0 (i > 0, m > r). 



Il eu suit que toute transformation de la forme 



g 



= S Ci 



ï = i 



diminue le rang de l' F intégrale d'une unité au moins. La condition nécessaire 

 et suffisante pour qu'une transformation de la forme 



permette de diminuer le rang de l' Z-intégrale, est ainsi que la transformation 

 soit de la forme 



! = 1 



Et nous voyons immédiatement que la condition nécessaire et suffisante pour que 

 la transformation en question dimiime le rang de l' F-intégrale de j unités est 

 que les i — 1 conditions 



S Ci |Bto= 0- (m = r — 1, r — 2, . . . r — j + 1) 

 1 = 1 



soient remplies. Nous allons examiner ce qu'expriment ces conditions. En partant 

 des égalités 



on peut déduire l'égalité 



a, = - S -^-(S/-^)' IttS]] ^^'^-^') > 0, > 0) . 



(on peut montrer que si l'égalité en question est vraie pour m, elle est vraie aussi 

 pourj^m-j- 1, et on voit immédiatement que l'égalité a lieu pour m=l). Ainsi 



la condition ^ Ci S,-, i= 0 peut s'écrire 



S c,-^,-, _i(ßo) = 0. 



i = l 



Il suit de cette condition qu'il existe une identité de la forme 



