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Louise Petrén 



i = 0 



le coefficient Cq+x ayant été introduit. La condition ^ Cj cB,;, _ 2 = 0 peut s'écrire 



1 



i = l 



* = i 



cette condition nous donne une identité de la forme 



i = l 



Nous pouvons continuer de cette manière; en partant des égalités 



\h = 0 



nous pouvons déduire que la condition nécessaire et suffisante pour que les conditions 



1 = 1 



soient remplies est qu'il existe j — 1 identités 



q + h 



1 = 1 



Ces j — 1 identités nous donnent les 2{j — 1) conditions 



9+''r q~i-{-h 



i = iL i- = o ' 



'l + hr q—i+h r \ 1 1\I 



0, 



1=1 /,■ = 0 



(h=^l, 2,...j-l) 



Et en tenant compte des équations (38'), nous pouvons remplacer ces 2{j — 1) con- 

 ditions par les 2(j — 1) conditions (56'). — Dans la définition en question de la 

 transformation [t^j], nous sommes partis de ce que l'équation (20) admet une Z-inté- 

 grale. Mais on voit aisément que ce n'est pas nécessaire de faire cette supposition. 

 Lorsque l'équation (20) n'admet pas une Y-intégrale, l'on peut pourtant obtenir 

 une expression de la forme 



e = + ß, r<'' - + ß, r^'' - . . . + ß,. r (ß« + o), 



où les coefficients ß^, ßj, ßg, . ■ . ßr ont été formés d'après la même loi que les coeffi- 

 cients d'une Y-intégrale (c'est-à-dire, si l'on remplace l'expression mentionnée à la 

 place de z dans l'équation (20), les coefficients de + y^'+^-D^ _ _ y^?) seront 

 nuls). En substituant, nous aurons 



q q r r+q-i 



7-1:1 II) 



i = l 



I = ] ?rt = 0 



