Extension de la méthode de Laplace 65 



Posons r >iq -{-j — 2. Le coefficient de F'''* dans l'expression 2 Ci ^,(6) est nul ; 



i = 1 



et les j — 1 identités 



TcfM^,-. -y,= 0 (/i = l, 2, 



i = 1 



nous donnent la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait S c,- = 0 

 (m = r — 1, r — 2, . . . r — ^jZ+l), c'est-k-dire la condition nécessaire et suffisante pour que 

 les coefficients de Y^'~^\ Y^' "^', . . . r"'"-'^^' dans l'expression S Ci&i{<d) soient aussi 



i = l 



nuls. 



En considérant la transformation (^_,) [q j >_ 1) comme inverse à la 

 transformation (/,) ou en définissant la transformation [t-j) directement de ses 

 qualités, l'on obtient ainsi le même résultat. Il est pourtant à remarquer que si 

 l'équation (20) peut s'écrire 



la transformation 



0, 



n'est pas inverse à une transformation [t^), mais peut être considérée comme une 

 transformation (^-i), si l'on veut. 



Comme Je l'ai déjà dit, la preuve donnée ici peut être étendue à l'équation (16). 

 Supposons que = const, forme un système de caractéristiques h l'équation (16). 

 L'équation (16) d'ordre n peut s'écrire 



+ + = ' (i^<--U où %=^A,^, 



Soit l'équation Wp{y) = Ü d'ordre s. Écrivons 



h = o 



p — h — i 



Toute transformation de la forme 



p 



'S-] = S Ci 

 i = 1 



diminue le rang des ]r-intégrales d'une unité. Et la condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que cette transformation, appliquée à une équation qui admet s F-inté- 

 grales distinctes, diminue le rang de chaque F-intégrale de ; unités est qu'il existe 

 j — 1 identités 



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