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Louise Petrén 



i = l 



Je ue puis encore dire si l'application de la transformation en question à l'équation 

 (16) amène des résultats qui sont d'intérêt. 



Pour l'équation (1), nous savons que ce fait notable a lieu: Si l'équation 

 admet une X-intégrale [î-intégrale] de rang m-\-\, ü existe une intégrale inter- 

 médiaire d'ordre m -|- 1, dépendant d'une fonction arbitraire de t/ [respectivement 

 de x], c'est pourquoi la méthode de Laplace et celle de Darboux s'appliquent avec 

 succès aux mêmes équations (1)^). Maintenant nous allons- examiner si ce résultat 

 peut être étendu à l'équation (20). 



Soit 



une X-intégrale de rang m -f- 1 de l'équation (20). Nous pouvons écrire 



m+l q 



! = o^ "•^/y = o i = oj = o 



Comme le premier membre de cette identité s'annule pour u = X, nous avons 

 X;o= 0 {i = 0, 1, ... m -|- 1) et nous pouvons écrire 



1 = 0 



■ , m 



■m —J 



j = 0 



dxJ 



i = 0 J = 0 



d'-^' du 



7+1 



dx'du} du 



Il en résulte 



m 



V( 



.7 = 0 



-1)^- 



IL 



i — 0 

 m4- 1 q — 1 



z-=0 7 = 0 



Les équations 



i = 0 



m+ 1 q—1 



0, s 



+:/• 



dx'dyJ 



(X,- y + l^t) = 0 



, = 0 i = o 



forment un système en involution. Et toute intégrale de l'équation (23) est aussi 

 une intégrale de l'équation 



(57) ,2 S (-l)' + '^7;^(^^-,i + i») = A', où X™ + i,,= a„ + 0, 



1 = 0 y = o 



L'équation (57), qui contient une fonction arbitraire de x, est une intégrale inter- 

 médiaire d'ordre m + g de l'équation (23). 



Inversement, si l'équation (23) admet une intégrale intermédiaire de la forme 

 (57), il en suit que les coefficients [i = 0, 1, . . . m) peuvent être choisis de 

 manière que l'identité 



') GouRSAT, Leçons. T. II, pages 174—178. 



