Extension de la méthode de Laplace 67 



a lieu, et que l'équation (20) admet l'intégrale 



Si nous supposons qu'une intégrale intermédiaire de la forme (57) de l'équation 

 (23) soit donnée, l'on obtient ainsi sans intégration une X-intégrale de l'équation (20); 

 et réciproquement, si une X-intégrale de l'équation (20) est donnée, on en obtient 

 directement une intégrale intermédiaire de l'équation (23). 



Supposons que 



soit une Y-intégrale de rang m -)- 1 de l'équation (20). Nous pouvons écrire 

 > Ll,— — ^ + > ß,„_ / — ,= > > u-y — 7— ou [j-i, ,;4_„,= ßo4:0. 



,^0^ ^^^^ ^y/j^o .f^^^^^y 



Comme le premier membre de cette identité s'annule pour u = Y, nous aurons 

 |i.oj= 0 (; = 0, 1, ... 2 -J- m). Il en suit 



y (—1)./ — . ß,„ _ ; y (— 1)' ( — : (AiU) — —. {BiU}] = A y (_ ] )i A. (n. . u) , 



où [Xi ,,^_^,= ßo=t=0. 



L'équation (23) et l'équation 



j = o 



forment un système en involution. Et toute intégrale de l'équation (23) est aussi 

 une intégrale de l'équation 



(58) S (-1)^- M = r, où , + ßo + 0 . 



i = o 



L'équation (58) est une intégrale intermédiaire d'ordre m -f- ? de l'équation (23). 



Liversement, si nous supposons qu'une intégrale intermédiaire de la forme 

 (58) de l'équation (23) soit donnée, il en suit que l'équation (20) admet une 

 F-intégrale de rang m -\- 1 an plus, et l' Y- intégrale est obtenue sans intégration. 



Nous avons ainsi obtenu le résultat suivant; si nous supposons que l'équation 

 (20) admette une Xintégrale [ F-intégrale] de rang m -{- 1, il en suit que l'équation 

 adjointe (23) admet une intégrale intermédiaire de la forme (57) [(58) respectivement], 

 qui est d'ordre m -\- q et dont le second membre est une fonction arbitraire de x 

 [respectivement de y]. Ce résultat peut aussi être obtenu par l'application des 

 transformations de Laplace à, l'équation (20). La preuve que nous venons de donner 

 a cependant l'avantage qu'elle peut être appliquée sans changement à l'équation (16). 

 Si l'équation (16) d'ordre n admet une intégrale de la forme d'Euler dépendant 



