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Louise Petrén 



d'une fonction arbitraire de la variable caractéristique /(aj, y) et qui est de rang 

 m -\- 1, il en suit que l'équation adjointe admet une intégrale intermédiaire d'ordre 

 n m — 1 dont le second membre est une fonction arbitraire de f{x,y); si 

 l'intégrale intermédiaire est donnée, Ton obtient sans intégration l'intégrale de 

 la forme d' Euler. 



Nous savons (proposition 10) que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'équation (20) admette une F-intégrale est que l'équation adjointe (23) admette 

 q X intégrales distinctes. Par conséquent, si l'équation (20) admet une F-iutégrale, 

 l'équation (20) admet q intégrales intermédiaires de la forme (57) qui ne peuvent 

 être remplacées par q — 1 intégrales intermédiaires. Et si l'équation (20) admet 

 q X-intégrales distinctes, l'équation (20) admet une intégrale intermédiaire de la 

 forme (58). 



Il suit de la proposition 12 que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'intégration de l'équation (20) puisse être ramenée à l'intégration d'équations 

 différentielles linéaires par la méthode de Laplace est que l'équation adjointe (23) 

 admette s intégrales intermédiaires de la forme 



m„,+l q-1 



y y (— 1 ^ZJ^j ih y + 1, h u) =^Xh (/i = 1. , 2, . . . s) , où X,„,.+i, h = «OA 

 et que l'équation (20) admette q — s intégrales intermédiaires de la forme 



^y^'i^i j + = (/i = s + 1, 5 + 2, ... g), 



,- = oy=o 



1 



où X,„,.+i, 7, = foA = ^fih{x)'tüi 



i=s+l 



et où il n'existe pas de relation de la forme 



2 gixfiûi = 0 



I=S+1 



(pour la désignation 70t voir la proposition 12). 



A ce sujet, il serait intéressant de faire une comparaison entre la méthode de 

 Laplace et la méthode générale d'intégration de Darboux, appliquée à l'équation 

 (20) ^), la méthode de Darboux ayant justement pour but de trouver des intégrales 

 intermédiaires de l'équation en question ; c'est mon intention d'y revenir une autre fois. 



La méthode générale de Darboux pour intégrer l'équation (15) 



s, ^, y 



= 0 



peut être étendue aux équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur, à deux variables indé- 

 pendantes. Voir: Goursat, Leçons. T. II, pages 313 — 316. 



