II. 



La méthode de Laplace pour l'équation (1) a été beaucoup simplifiée par 

 l'introduction de la désignation des invariants 



h — — A- ab — c, Je = — 4- ah — c. 



dx ' dy 



En partant des invariants h et Je ou peut calculer les invariants , Ji^, Ji^, ... et 



Je — 1, Je — ^ — 3, ■•• 



par l'emploi répété des formules 



ï. I 7 o7 d^hg Jli 

 + 1 = 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) admette une Xinté- 



grale [ F-intégrale] de rang w -f- 1 est Ji„i =^ 0 [^_„j = 0]. Supposons Jim = 0. En 

 appliquant la transformation (6) m fois de suite, nous obtiendrons l'équation 



d^^m I dStti dSin . ^ , dttin , ^ db , -, -, 

 — — + a,a h b — h <^>ii^m = 0, ou \- a,nb — Cm = 0, \- a,nb — Cm = Jem, 



dxdy dx dy dx dy 



qui admet l'intégrale e~/""'^-'X De l'intégrale générale de la dernière équation l'on 

 obtient l'intégrale générale de l'équation (l) par l'emploi de la formule 



^ _ e- /" ^ ^ - - '•^)- 



Ji dx //j dx Jim-i dx 



En appliquant la méthode de Laplace à l'équation (1) on n'a donc jamais besoin 

 d'employer les transformations de Laplace, il suffit de calculer les invariants Ji, Ji^, 

 Ji^.' h^, ... et Je, Jc-i, ^_2, Je-s, ... . Il serait intéressant d'étendre la désignation 

 des invariants à l'équation (20). 



Le caractère essentiel des invariants Ji et /.: de l'équation (1) est qu'ils ne 

 changent pas de valeurs pour la substitution ^ = X^, où X est une fonction quel- 

 conque de X et de y, et que deux équations de la forme (1) qui ont les mêmes valeurs 



