Extension de la méthode de Laplace « I 



Les équations (41') nous donnent 



Ecrivons 



i,,= l'"y'(l+41p,^,?i^. (, = 0, l,...s-l), où^ = -l^,_,; 



V est déterminé à un facteur près qui est une fonction de x; les fonctions 

 Hi (î = 0, 1, ... 1) ne dépendent pas de ce facteur. Nous pouvons aussi écrire 



« = - \ '"t" WT ^'^^ [h - \ ^'-')'"^«- = 0, 1, . . ^ 



Si l'on choisit X égal à v, l'on obtient 



I Pi=:Hi (^• = 0, l,...g-l). 



X = v 



De même que nous avons prouvé que les fonctions (i = 0, 1, . . . g — 2) sont 

 des invariants de l'équation (20), nous trouvons aussi que les fonctions 

 Hi (i = 0, 1, . . . 2 — 1) sont des invariants de l'équation (20) pour la substitution 

 s = \z 1). 



Nous avons ainsi obtenu les 2q invariants 



Ii, Hi (^ = 0, l,...g--l) 

 de l'équation (20). Si = 0, nous aurons: 



Vi = -2^, li^Ai (t = 0, l,...g-2), 



dy 



= ^ + Ai B, — Bi (i = 0, 1, . . . g-1). 



Les 2q invariants iZi, Ii [i = Q, \,...q — 1) sont évidemment indépendants l'un 

 de l'autre. 11 est aisé de voir que deux équations de la forme (20) qui ont les 

 mêmes valeurs des 2q invariants Hi, Ii (i = O, \,...q — 1) peuvent se ramener 

 l'une à l'autre par la substitution s — Xi. Il en suit que tout invariant de l'équation 

 (20) peut s'exprimer au moyen des invariants Ii, Hi (i = O, 1.. ..q — 1). — Comme 

 Darboux, je veux regarder comme équivalentes deux équations qui se ramènent 

 l'une à l'autre par le changement de z en X^ et qui ont, par conséquent, les mêmes 

 invariants. 



^) Pisati a déjà donné des relations entre les invariants Hi et les coefficients de l'équation 

 (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1905, page 360). 



