Extension de la méthode de Laplace 73 



de ces relations que si deux équations de la forme (20) où g > 1 ont les mêmes 

 valeurs des 2q invariants 



Hi, Ki (* = 0, 1, ...2-1), 

 il n'en suit nullement que les deux équations soient équivalentes ; par suite, si(^ > 1, 

 on ne peut pas obtenir tous les invariants de l'équation (20) au moyen des 2q 

 invariants //,-, Ki = 0, \, . . .q — 1). 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) admette q 

 X-intégrales distinctes de rang 1 est Hi = 0 (î = 0, l,...^— 1), et la condition 

 nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) admette une Y-intégrale de rang 1 

 est Ki = 0 (i = 0, l, . . . q — 1). Nous allons maintenant examiner à quelles relations 

 les invariants doivent satisfaire pour que l'équation (20) admette s X-intégrales 

 distinctes de rang 1. 



Nous écrivons 



V ^jU^ t\r\ ' + df \j=\,2,...q j dy q 



Les quantités Py ont été définies page 23. D'après la désignation appliquée, nous 

 avons Pi = Pii et par suite Hi — Hn. 



De la même manière que nous avons trouvé que les Ri sont des invariants, 

 l'on peut aussi montrer que tous les Hij sont des invariants de l'équation (20). 

 Tous les Hij peuvent s'exprimer au moyen des 2q — 1 invariants i,- (* = 0, 1, . . . q — 2), 

 Hi (î = O, l,...q—l). Si nous supposons = 0, nous obtiendrons 



(i=0, l,...q- 



■' \./= 1, 2, . . .q 

 en remplaçant 



A,-i = 0, A,. = Ir (r = 0, 1, . . . g-2), Pr = H (r = 0, 1 , . . . q-\), 



dans la définition de P„ (page 23), nous obtiendrons Hij en fonction de 



I, (r=^i-j + 2, ... q-2), H,, {r = t-j + 1, i - j 2, . . . q- l). 



Entre les invariants Ha ( \ ^' \' ■ ■ ■ 1 existent les relations suivantes 



\,y = 1, 2, . . . g 



(59) ^-j+i (F,+i,,_i)^ = 



0 Hp^ j Hi^ j 



(59') Tîij+o^ (i/,,+1., •_!)* = 



Hp, ,- Hp^^, J + 25;, ,/ Hp_2, j + 2h;^,, j + s;;, j Hp_,, ,• + 2fl;u, ,• + h;u j S-.. ,• + 2m_,, ,•+ i?,;;. 



0 Hp, j fJp—i, j + H'p, j Hp— 2, j + Hp—i, j Hi -x, j -f H[ 



0 0 Hp, j j Hi, j 



^p+i, i-i Sp, j_i -^H'pj^xj-1 Hp—i, j_i + Hp, /_i Sp—1, /_i + -öp— 1, y-i -^li-i, ./-i + S'i, /_i 



0 -Sp+l, j-l Hp, j_i -öj:»— 1, Hi, j_i 



etc. oCi "p = q — i et où la désignation — = H, -^-j = H" est employée [pages 23, 24]. 



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