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Louise Petrén 



Selon la proposition 2, la condition nécessaire et suffisante pour que l'équa- 

 tion (20) admette s X-intégrales distinctes de rang 1 est 



iî,-, ,_, = 0 (i = 0, ],...s—l). 



Formons les invariants 



' \j=h 2,...q j 



des coefficients de l'équation (23) de la même manière que nous avons formé les 

 invariants 



= 0, 1, . . . g-A 

 ' [j-h 2.... g j 



des coefficients de l'équation (20) [page 73]. La condition nécessaire et suffisante 

 pour que l'équation (23) admette s X-intégrales distinctes de rang 1 est 



Ki,^_i = 0 {i = 0, 1,...*-1). 



Pour reconnaître si l'équation (20) [(23)] admet des X-intégrales de rang 1, 

 et dans ce cas combien, il n'est donc pas nécessaire de calculer tous les invariants 



^.w(;:î;;;:::p'), 



il suffit de calculer les g invariants Bi^ [Ki, q-i respectivement] (i = 0, 1, . . . q — 1). 

 Ce sont les 2g invariants 



Hi^q^i. Ki^,-i (^ = 0, l,...g — ]) 



qui correspondent le plus près aux invariants 



h = — A- ab — c, k = — 4- ab — c 



dx ^ dy 



de l'équation (1). Si l'on effectue la substitution x = f{x), = r|)(«/), les invariants 

 Ä et Ä; de l'équation (1) ne subissent pas d'autre changement qu'une multiplication 

 par le facteur f'{x)'\)'{ï/). Parmi les invariants 



K,j h ^ ^' l' • ■ • (/ = 0, 1, . . . g-1) 



2,... g 



de l'équation (20) ce sont seulement les 2q invariants 



Hi, q^i, Ki, (/ = 0, 1, ... g- 1) 



qui, à un facteur près, se reproduisent, quand on effectue la substition x = f{x), 

 y = (j>(^). Mais il y a une différence très importante entre les invariants A et de 

 l'équation (1) et les invariants Jï,, Ki, q—i (* = 0, 1, . . . g — 1) de l'équation (20). 

 Deux équations de la forme (1) qui ont les mêmes valeurs des deux invariants h et 

 Te sont équivalentes; tout invariant de l'équation (1) s'exprime au moyen de h et 

 de Te. Mais si deux équations de la forme (20) ont les mêmes valeurs des 2g in- 

 variants Hi, ^i, q—i (^ = 0, 1, . . . g— 1), il n'en suit nullement qu'elles soient 

 équivalentes; on ne peut point exprimer tous les invariants de l'équation (20) au 

 moyen des invariants Hi, g^i, Kt, q—t (?' = 0, 1, . . . g — 1) [voir page 73]. 



