Extension de la méthode de Laolace 



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L'importance de l'emploi de la notatiou des invariants h et Je consiste dans ce 

 fait que les invariants des équations obtenues par l'application des transformations 

 de Laplace à l'équation (1) sont aussi des invariants de l'équation (1) et s'éxpriment 

 par suite au moyen de h et de k. Nous allons maintenant examiner si c'est le 

 même cas pour l'équation (20). Si nous appliquons une transformation {t^} 



à l'équation (20), nous obtiendrons une équation dont les invariants dépendent de 

 a^; par conséquent, les invariants de l'équation qui définit 0^ ne sont pas de règle 

 des invariants de l'équation (20). De même, si nous appliquons une transformation 

 {ti) ou (f -i), où q>i^l, nous arriverons à des équations dont les invariants 

 ne sont pas en général des invariants de l'équation (20). Ce sont seulement les 

 transformations {T^j et (T- 1) [pages 37 et 56] qui sont toujours complètement 

 déterminées, et ce n'est qu'en appliquant les transformations (TJ et (T—i) à l'équa- 

 tion (20) que nous pouvons attendre à arriver à une équation dont les invariants 

 sont aussi des invariants de l'équation (20). La transformation [T^] de l'équation (20) est 



2 q = \^ Ai . . 



Si nous eä'ectuous la substitution z = Xz, l'équation (20) pourra s'écrire 



La transformation {Tj) de cette équation est 



et nous avons par suite = . Il en suit que les invariants de l'équation [E^] 



sont aussi des invariants de l'équation [E], ce qui est évidemment le cas soit 

 que l'équation [E^] soit d'ordre n ou d'ordre inférieur à n. Si nous appliquons 

 la transformation (TJ plusieurs fois de suite à l'équation (20), nous obtiendrons 

 donc une série d'équations [E^ , {E^), (E^),.... dont les invariants sont des 

 fonctions de Ht (i = 0,'i,...q — 1). Comme les équations (iJJ et (E'^i) sont 

 adjointes, abstraction faite d'un facteur, les invariants de l'équation [E'^i) sont 

 aussi des invariants de l'équation {E'). Si nous appliquons la transformation 

 (T_i) à l'équation (23), nous obtiendrons ainsi une équation dont les invariants 

 sont aussi des invariants de l'équation (23). Il en suit que si l'on applique la 

 transformation (T„i) répétée à l'équation (20), l'on obtiendra une série d'équations 

 (E—i), {E^2), (J5^ - 3) ... d'ordre n au plus, dont les invariants ne dépendent que 

 de /i. Hi, [i = 0, I,... q — 1). La transformation (T^^i) peut s'écrire 



