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Louif;e Petrén 



^-q = V Cl &{Z) , 

 1 = 1 



les coefficients a {i = 1,2, ...q) étant complètement déterminés (voir la proposition 

 11). Le fait que les invariants de l'équaion sont des invariants de l'équa- 



tion [E) signifie que les invariants de l'équation 



V Ci S4v) = 0, 



1 = 0 



où Cj {i = 1, 2, ... g) remplissent les conditions données dans la proposition 11, sont 

 aussi des invariants de l'équation (20). 



Je vais maintenant, comme Darboux, étendre la désignation (E), (E^), [E^), 

 ...,{E..i), (E^->), ...,{E'), {E\), {E\), ...,{E^x) [E'^o), ••• aux équations équivalentes. 

 Les équations [Et) et (-E"_/) sont par suite des équations adjointes (c'est pourtant 

 à remarquer que si l'équation [Ei], i > 0, est d'ordre inférieur à w, le second mem- 

 bre de l'équation {E- ,) n'est pas nul). 



Je désigne les invariants I,, Ht, Jt, Ki, His, Kis de l'équation {Ej) (^j ^ oj par 



[ii]j, mu [Ji]j, TOi. [^Ji- 



Nous avons trouvé que les invariants de toutes les équations [Ej] ^ j ^ oj ne 



dépendent que des 2g invariants /,-, Hi {i = 0, 1, ••• g — 1). Si le problème de 

 déterminer les invariants de l'équation (A\) au moyen des invariants de l'équation 

 [E] était résolu, nous n'aurions plus besoin d'appliquer la transformation (T,) pour 

 reconnaître si l'équation [E) admet des X-intégrales ; au lieu de cela, nous pourrions 

 en partant des invariants de l'équation [E) calculer successivement les invariants 



des équations [E^, E^], {E^), Et à l'aide des relations entre les invariants des 



équations (E) et {Ej) nous obtiendrons, en remplaçant 



Ii, Hii,Ji, Kij, [li]^, [^Ji' [^di 



par 



e/i, Kij, Ii, Hij , [Ji\~l, [K;j]-\, [II]—!, [Hij]~l , 



les relations entre les invariants des équations (E) et {E^i), puisque les équations 

 {E\) et [E—j] sont adjointes. Calculer les invariants de l'équation (E—x) en fonction 

 des invariants de l'équation {E), voilà donc le même problème que de déterminer 

 les invariants de l'équation (E^) en fonction des invariants de l'équation {E). Si 

 le problème de déterminer les invariants de l'équation (E^) en fonction des invariants 

 de l'équation (E) était résolu, nous aurions ainsi pu reconnaître, sans appliquer les 

 transformations de Laplace, à quel point l'intégration de l'équation (20) peut être 

 simplifiée par la méthode de Laplace. 



Nous voyons ainsi que, pour l'application pratique de la méthode de Laplace, 

 il est d'une grande importance de trouver les relations qu'il y a entre les invariants 

 des équations [E) et [E^). L'équation [Ej) s'obtient en différentiant les équations" 



