Extension de la méthode de Ivaplace 



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(46) et (21) et en élimiuaut s et ces dérivées entre les équations obtenues [voir 

 page 38]. Pour abréger, désignons le premier membre de l'équation (46') par 



4>_,.(^,). 



Si l'équation {E^ est d'ordre n — s, elle peut s'éçrire 



4>„_, [z,^ = 0. 



Si nous supposons ^,;_i = 0, les coefficients de l'équation obtenue sont don 

 nés en fonction de Ht (/ = 0, 1, . . . g — 1) et de B^. En partant de ces coeffi- 

 cients l'on pourrait par suite calculer les invariants de l'équation (jBJ en fonction de 

 7,-, («.' = 0, 1, ... q — 1); mais si on calculait les invariants de l'équation [E^ d'une 

 telle manière, on obtiendrait des relations très compliquées entre les invariants des 

 équations [E) et (J5JJ. 



Je vais maintenant essayer de trouver des relations plus simples entre les 

 invariants des équations [E^ et [E). Supposons J.,;_i = 0; nous avons alors 



Hij=Pij. En différentiant l'équation (46) j — 1 fois par rapport à </ et l'équation 

 (21) j— 2 fois par rapport à y et en éliminant entre les équations obtenues les 

 g<;-l-.? — 2^ d^~J + ^z 



^7+1' ^ obtiendra l'équation 



quantités 



dy" 



+./- 



Q —j ai> 



Les expressions <ï>j(^<,) 

 suivante: nous avons 



[j = l, 2, . . . g -)- 1) peuvent être obtenues de la manière 



d2q 



(60) 





0 H,^ 



1 0 



2 + H'q-X 

 1 



Zq 





et 













(60') cl),-+,(^, 



1 



Hq—j, j 



Hq-i-1, j - 





{Hq-j+l, 



0 



Hq—j, j 

















-i(.^,) 



(î>i>2). 



pourvu que 0, ce qui suit de l'équation (59). A l'aide de ces for- 



mules, nous obtiendrons les coefficients de Zq et de ces dérivées dans les expressions 



en fonction de 



J^q, Hq — i^ i {i =1, 2, . . 



pourvu que H,j i :ifO (« = 1, 2, 



l,...q) 



Ha 



H=U 2 



1), 



.q). 



Si la condition 

 + 0 (?;=!, 2,...q) 

 n'est pas remplie, on peut, en tenant compte des équations (59), (59') etc., obtenir 

 les coefficients de Zq et de ces dérivées dans les expressions ^j(^q) (y = l, 2, ... q-\- l) 

 en fonction de Bq et des invariants de l'équation (20) d'une manière un peu modifiée. 



