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Louise Petrén 



Nous allons maintenant essayer de déterminer les coefficients de Zq et de ses 

 dérivées dans les expressions *^j{sq) (i = 1, 2, ... g + 1) eu fonction des 

 coefficients de l'équation qui définit Sq. Puis nous allons égaler les deux expres- 

 sions des coefficients en question. .De cette manière, nous obtiendrons des relatio*]s 

 entre les invariants des équations [E] et {E^). 



Supposons que l'équation {E.^) soit d'ordre n. Nous écrivons l'équation qui 

 définit Zq 



(61) 



1 = 0 



dxdy 



et en partant de cette équation nous formons les expressions ^i{gq) (i = 1, 2, ... g) de 

 la même manière que les expressions &i[z) (i = 1, 2, ... j) ont été formées de l'équa- 

 tion (20) [page 49], Si 



ß„r^'''+ß,r<'-'^+... + ß,.r 



est une Z-intégrale de rang r -|- 1 de l'équation (20) et que cette F-intégrale soit 

 substituée dans les équations 



1 Ai — . 



<E>i(^,)= V 



i = 0 ^'J 



(,^ = 1, 2, ...g). 



nous trouvons que la transformation C = ^.i^q), appliquée à l'équation (61), diminue 

 le rang de 1' F-intégrale de j unités. J'ai déjà (pages 63, 64) montré que la condition 

 nécessaire et suffisante pour qu'une transformation de la forme 



appliquée à une équation qui admet une Y-intégrale, diminue le rang de TF-inté- 

 grale de j unités, est que la transformation soit de la forme 



</ 



j = i 



où les coefficients Ci (i= 1, 2, ... g) vérifient les — 1 relations linéaires et homo- 

 gènes qu'on obtient en éliminant les ji' — 1 coefficients c,- (* = g -|- 1, g + 2, ... g-(-y — 1) 

 entre les 2{j — 1) relations (56'). Il en résulte que l'expression ^j{zq), qui ne ren- 

 ferme de dérivées de que jusqu'à l'ordre au plus, est de la forme 



'/ 



(62) <l>j{eq) = Y^eij H0q). 



i=q J+i 



où les coefficients e„ {i — q — ,y + l, 3—^ + 2,. .g), à un facteur près, sont 

 déterminées par les j — 1 relations linéaires et homogènes qu'on obtient en éliminant 

 les y — 1 coefficients (^ = g -]- 1 . q 2, . . . q j — \] entre les 2{j — 1) relations 



(63) 



V 



i = 0 



Vf. 



h\ 



V 



/,■ = Ü 



ll\ 



k\{h — /•) ! 



0 



= 0 



(Ä = (), 1, — 2), 



